一道名題的兩個巧證

如果一個三角形的兩條內角平分線相等，則該三角形等腰.”

大約1840年，德國數學家雷米歐司在一次數學會議上說了以下的話：“幾何問題在還沒有證出之前很難說它是困難還是容易!”為此，他舉出了這道題作為例子.當時該問題還沒有被證出來，后來另一名德國數學家斯坦納證出了它，但相當繁雜. 此后，這個問題很快出名，稱為雷米歐司——斯坦納定理，已有許多巧思妙證發表［1］，［2］，［3］. 下面筆者再給出兩個證明，供讀者參考.

圖1證法1：如圖1，記BC=a，AC=b，AB=c，角平分線BD=CE=d，作△ABC的外接圓，延長BD與CE，分別交圓于F、G，記FA=FC=m，GA=GB=n，FD=P，GE=q，由相似三角形性質及角平分線性質得

mn=mana=ADdAEd=ADAE=ADACAEAB?ACAB=cc+abb+a?bc

=a+ba+c. （1）

由面積關系得pd=m2ac，qd=n2ab，

兩式相除得：

pq=m2bn2c=(a+b)2b(a+c)2c. （2）

由托勒密定理得ma+mc=b(d+p)，na+nb=c(d+q)，因為從（1）得ma+mc=na+nb，所以b(d+p)=c(d+q)，即(b-c)d=cq-bp. （3）

若b>c，則從（2）式得p>q，但這樣（3）式左正右負，不能成立；若b

所以b=c．

證法2：如圖2，過B作EC的平行線交AC延長線于P，過C作DB的平行線交AB延長線于Q.則∠Q=∠ABD=∠DBC=∠BCQ，所以BQ=BC，同理CP=BC．

圖2由BDQC=ABAQ和CEPB=ACAP及BD=CE得：

PBQC=cb?b+ac+a=bc+acbc+ab，由此式顯見，若b>c，則PB

另一方面，取QC、PB的中點M、N，連BM、CN，則BM⊥QC，CN⊥PB.若b>c，則∠ABC>∠ACB，于是∠BCN=12(180°-∠ACB)>12(180°-∠ABC)=∠CBM，注意Rt△BCN和Rt△CBM的斜邊相等，較大的銳角所對的直角邊也較大，所以BN>CM，從而PB>QC，這跟PB

同理，若b 順便說一件有趣的事兒：“等腰三角形的兩個底角相等”這個命題本來極易證明，但幾何的化身——歐幾里得卻作了很復雜的輔助線（延長AB到Q，延長AC到P，使BQ=CP，連接BP、CQ），人們戲稱之“驢子難過的橋”，并稱該定理為“驢橋定理”，這么復雜的輔助線確實要讓許多人犯傻呢!筆者這頭笨驢好不容易過橋之后，竟變聰明了點，突來靈感，仿“驢橋”搭“馬橋”，成功證得幾何難題“雷米歐司——斯坦納定理”，管它是驢還是馬呢，拉出來溜一溜，呵呵．

參考文獻

［1］ 周春荔.“萊姆斯——斯坦納問題”的初等證明及其它［J］.中學生數學（初中版），2006，（3）．

［2］ 王申懷等.代數與幾何之間的另一座“橋梁”——向量［J］.數學通報，2005，（5）．

［3］ 沈康身.歷史數學名題賞析［M］.上海：上海教育出版社，2002，9∶416—420．