例談“等腰三角形”問(wèn)題中建立方程的幾條途徑

在“等腰三角形”問(wèn)題中一般都要建立方程來(lái)解決問(wèn)題.下面舉例說(shuō)明建立方程的幾條途徑：

途徑一：直接利用兩腰相等建立方程

圖1例1 如圖1，已知拋物線y=ax2+4a+34x+3與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求拋物線的解析式．

解 由題意得：A（-34a，0），B（-4，0），C（0，3）．

因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以分三種情況討論：

①當(dāng)CA=CB時(shí)，不存在．

②當(dāng)AB=AC時(shí)，拋物線的解析式為：y=67x2+11728x+3．

③當(dāng)BA=BC時(shí)，得-4+34a=5，解得a=112．

所以拋物線的解析式為：y=112x2+1312x+3．

所以當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，拋物線的解析式為y=112x2+1312x+3或y=67x2+11728x+3 ．

評(píng)注 因?yàn)樵赗t△BCO中，根據(jù)勾股定理可求出“斜向”線段BC的長(zhǎng)，而線段BA又可用字母a的代數(shù)式表示，所以可以由“等腰”即BA=BC直接建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式．

途徑二：利用“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”建立方

程

圖2例2 如圖2，已知點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．

（1）△COD是等邊三角形嗎？為什么？

（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由．

（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？簡(jiǎn)述你的理由．

解 （1）△COD是等邊三角形.理由略．

（2）△AOD是直角三角形.理由略．

（3）由題意得∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α.根據(jù)“三角形內(nèi)角和等于180°”得∠OAD=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°．

因?yàn)椤鰽OD是等腰三角形，所以分三種情況討論：

①當(dāng)AO=AD時(shí)，得∠AOD=∠ADO．

所以190°-α=α-60°.解得α=125°．

②當(dāng)OA=OD時(shí)，得∠ODA=∠OAD．

所以α-60°=50°.解得α=110°．

③當(dāng)DA=DO時(shí)，得∠DAO=∠DOA.所以190°-α=50°.解得α=140°．

所以當(dāng)α=110°、125°、140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

評(píng)注 根據(jù)已知及可知條件和“三角形內(nèi)角和等于180°”，可用字母α的代數(shù)式分別表示出△AOD的三個(gè)內(nèi)角，然后利用“等邊對(duì)等角”建立關(guān)于α的方程，從而求出α的值．

圖3例3 將一塊三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線上AC滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q（圖3示），設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你所觀察得到的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PQC是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PQC成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試驗(yàn)說(shuō)明理由．

解 （1）PQ=PB.證明略．

（2）y=122-x2，0≤y≤1．

（3）△PQC可能成為等腰三角形.因?yàn)椤鱌QC是等腰三角形，

所以分三種情況討論：

①當(dāng)PQ=PC時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，所以x=22．

②當(dāng)QP=QC時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，所以x=0．

③當(dāng)CQ=CP時(shí)，得∠CQP=∠CPQ=22.5°.進(jìn)而得∠ABP=∠APB=67.5°.所以x=AP=AB=1，CQ=2-1．

所以點(diǎn)Q的位置分別為與點(diǎn)C重合、與點(diǎn)D重合、CQ=2-1，相應(yīng)的x值分別為22、0、1．

評(píng)注 因?yàn)轭}目給出的是有關(guān)邊的條件，所以當(dāng)CP=CQ時(shí)，根據(jù)“等邊對(duì)等角”可得到∠CQP=∠CPQ=22.5°，還建立不了關(guān)于x的方程，只有再利用“等角對(duì)等邊”得到AP=AB時(shí)才建立了關(guān)于x的方程，從而求出x的值．

途徑三：利用“等腰三角形的‘三線合一’性”建立方程

例4 （2011孝感）如圖4，矩形ABCD的一邊BC在直角坐標(biāo)系中x軸上，折疊邊AD，使點(diǎn)D落在x軸上的點(diǎn)F處，折痕為AE，連接OA，已知AB=8，AD=10，并設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），其中m＞0．

（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；

（2）若△OFA是等腰三角形，求m的值；

（3）如圖5，設(shè)拋物線y=a(x-m-6)2+h經(jīng)過(guò)A、E兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M.連接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．

圖4 圖5解 （1）E(m+10，3)，F(xiàn)(m+6，0)．

（2）因?yàn)椤鱋FA是等腰三角形，所以要分三種情況討論：

①當(dāng)OF=OA時(shí)，m=73．

②當(dāng)FO=FA時(shí)，m=4．

③如圖4，當(dāng)AO=AF時(shí)，得BO=BF=12OF.所以m=12(m+6).解得m=6.

所以當(dāng)m=73、4、6時(shí)，△OFA是等腰三角形．（3）a=14，h=-1，m=12．

評(píng)注：直接用“斜向”線段AO、AF相等，利用勾股定理也可建立方程求出m的值，就是繁了點(diǎn).不如根據(jù)“等腰三角形底邊上的高就是底邊上的中線”得到BO=12OF建立方程簡(jiǎn)單．

途徑四：利用勾股定理建立方程

例5 （2009江蘇）如圖6，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D(3，0)和點(diǎn)E(0，4).動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)M(5，0)出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）以點(diǎn)C為圓心、12t個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），連接PA、PB．

①當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍；

②當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，求t的值．

圖6 圖7解 （1）C(5-t，0)，P3-35t，45t．

（2）①43≤t≤163．

②因?yàn)椤鱌AB為等腰三角形，所以要分三種情況討論：

（ⅰ）當(dāng)PA=PB時(shí)，t=5．

（ⅱ）當(dāng)AP=AB時(shí)，t=43，t=203．

（ⅲ）如圖7，當(dāng)BP=BA時(shí)，則BP2=BA2.根據(jù)勾股定理，得

GB2+PG2=BA2.所以(110t+2)2+45t2=t2．

解得t=4，t=-207（舍）.所以當(dāng)t=43、4、5、203時(shí)，△PAB為等腰三角形．

評(píng)注：因?yàn)锽P是“斜向”線段，所以要表示BP就要構(gòu)造Rt△BGP.當(dāng)BP=BA時(shí)，先要把它轉(zhuǎn)化為BP2=BA2，然后利用勾股定理建立關(guān)于t的方程，從而求出t的值．

途徑五：利用比例式建立方程

例6 （2009仙桃）如圖8，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D 出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng).過(guò)Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求NC，MC的長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？

（3）是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）探究：t為何值時(shí)，△MCP為等腰三角形？

圖8解 （1）NC=t+1，MC=54(t+1)．

（2）t=2．

（3）不存在.理由略．

（4）因?yàn)椤鱉CP為等腰三角形，所以要分三種情況討論：

①當(dāng)MC=MP時(shí)，t=23．

②當(dāng)CM=CP時(shí)，t=119．

③當(dāng)PM=PC時(shí)，得FC=MF=12CM.進(jìn)而有△CPF∽△CAB得CFCP=45.所以58t+14-t=45.解得t=10357．

所以當(dāng)t=23、119、10357時(shí)，△MCP為等腰三角形．

評(píng)注 先由等腰三角形的“三線合一”性，得FC=FM.然后根據(jù)相似得比例式建立關(guān)于t的方程，從而求出t的值．