三角形內(nèi)外角關(guān)系的拓展與證明

結(jié)論：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線所成的鈍角=90°+12× 第三個(gè)角．

上面的結(jié)論是三角形兩內(nèi)角的角平分線所形成的鈍角與三角形第三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系.由此大家不難通過(guò)聯(lián)想，也許還會(huì)提出下面的問(wèn)題：三角形的兩個(gè)外角的角平分線所形成的銳角與第三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系呢？三角形的一個(gè)外角與不是由同一頂點(diǎn)出發(fā)的一個(gè)內(nèi)角的平分線所形成的銳角與三角形的第三個(gè)角有什么關(guān)系呢？等等.下面我們分別予以探索與證明．

已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線AD、BE、CF相交于點(diǎn)O.求證：∠BOC=90°+12×∠BAC，∠AOC=90°+12×∠ABC，∠AOB=90°+12×∠ACB．

證明：因?yàn)锽E、CF平分∠ABC、∠ACB，

所以∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，

因?yàn)椤螧AC+∠ABC+∠ACB=180°，∠OEC=∠1+∠BAC，

所以∠BOC=∠2+∠OEC=∠2+∠1+∠BAC=12（∠ABC+∠ACB）

+∠BAC=12（180°-∠BAC）+∠BAC=90°+12∠BAC．

同理可證：∠AOC=90°+12∠ABC，∠AOC=90°+12∠ACB．

拓展結(jié)論1：三角形的兩個(gè)外角的角平分線所成的銳角=90°-12×第三個(gè)角．

上述結(jié)論的證明過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們仿上完成．

圖1 圖2應(yīng)用舉例:已知如圖2，在△ABC中，∠EBC、∠FCB為△ABC的兩個(gè)外角，BD、CD為∠EBC、∠FCB的角平分線，若∠A=80°，則∠BDC= .（答案：50°）

拓展結(jié)論2：三角形的一個(gè)內(nèi)角的角平分線與三角形的另一個(gè)外角的角平分線所成的銳角=12×第三個(gè)角．

圖3已知：如圖3，在△ABC中∠ABC的角平分線BD與∠ACE的角平分線CD相交于一點(diǎn)D.求證：∠BDC=12∠A．

證法1：設(shè)∠ACD=x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論2，得∠DBC=∠DBA=x-∠BDC．

因?yàn)椤螦CE=∠A+∠ABC，

所以2x=∠A+2∠DBC=∠A+2（x-∠BDC），

所以∠A=2∠BDC，所以∠BDC=12∠A．

證法2：過(guò)點(diǎn)C作∠ACB的平分線CF交BD于點(diǎn)O．

因?yàn)锽D平分∠ABC，CF平分∠ACB，交點(diǎn)為O.則據(jù)上述結(jié)論易知

∠BOC=90°+12∠A. ①

又因?yàn)镃D平分∠ACE，CF平分∠ACB，則根據(jù)互為鄰補(bǔ)角的角平分線相互垂直可知∠OCD=90°.因?yàn)椤螧OC是△ODC的外角，

所以∠BOC=90°+∠BDC. ②

由①②得∠BDC=12∠A．

圖4上面討論的是角的平分問(wèn)題，如果涉及三等分角結(jié)論又將如何呢？下面我們一起來(lái)探索一下．

已知：如圖4所示，BD、BE與CD、CE分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，那么∠BDC、∠BEC與∠A之間有什么關(guān)系？ 簡(jiǎn)解：延長(zhǎng)BD交AC于F．

因?yàn)锽D、BE與CD、CE分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，

所以∠BDC=∠ACD+∠ABF+∠A=23（∠ACB+∠ABC）+∠A=23×180°+13∠A．

同理可得：∠BEC=13∠ACC+13∠ABC+∠A=13×180°+23∠A．

如果大家有興趣的話不妨探討一下四等分角，…，n等分角有沒(méi)有規(guī)律可尋呢？也許通過(guò)探索，你會(huì)有重大發(fā)現(xiàn)呢!