圓寶塔的一個有趣性質

如圖1，將n(n+1)2個半徑相等的圓擺成一個寶塔形，最下面一層有n個圓，它們都與直線AB相切，往上每一層都比它下一層少一個圓，除了最下面一層外，每一個圓與它下面的兩個圓都相切，這便是一個圓寶塔（圖1中n=5)．

圖1如果這個圓寶塔象圖2那樣擺得很整齊，即最下面一層相鄰的圓都是相切的，或者底層的幾個圓擺成左右對稱的，則最上面那個圓的圓心和最下層兩端的兩個圓的圓心相連可以構成一個等腰三角形，且以最上面那個圓的圓心作為頂點，這一點是沒有什么疑問的.現在的問題是，如果最下層擺得不是那么“整齊”，比如象圖3那樣，圓與圓之間有的是相離的，甚至還有相交的，也不是左右對稱，結論還能成立嗎？一般認為不會再是等腰三角形了，但讓你感到驚奇的結論是：無論最下層如何擺，那三個圓心始終構成一個等腰三角形．

圖4我們先看n=3的情形，如圖4中，設六個圓的圓心分別是C、D、E、F、G、H，連CG、CH、GD、GF、HF、HE.由擺的方法知，以上所連的這些線段都相等.再作矩形DEQP，使QP過C點.要證C、D、E構成等腰三角形，只要證CP=CQ即可．

分別以CG、GD、CH、HE為斜邊作直角三角形，并使兩條直角邊分別與DE垂直和平行.因為四邊形CGFH是菱形，所以GF∥CH，又因為DF∥CS，得∠HCS=∠GFD，而GD=GF，則∠GFD=∠GDF，再由MG∥DF，得∠GFD=∠DGM，從而有∠DGM=∠HCS，從而得△DGM≌△HCS，即有GM=CS.同理可證△CGR≌△HEN，即有CR=HN.從而得到：CP=CR+RP=CR+GM=HN+CS=SQ+CS=CQ，從而C、D、E可以構成等腰三角形

圖5如圖5，若n＞3（圖中畫出n＝6），和n=3的做法一樣，把每個圓的圓心和在下面與它相切的兩個圓的圓心相連，則中間連出的每個四邊形都是菱形.同樣以處在兩邊的連線為斜邊作直角三角形，這樣可以作出10個直角三角形，并作出矩形DEQP，和n=3時的證明方法一樣，容易證明，標號分別為1和6的兩個三角形全等，標號分別為2和7的兩個三角形全等，標號分別為3和8的兩個三角形全等，標號分別為4和9的兩個三角形全等，標號分別為5和10的兩個三角形全等.例如，要證明標號1和標號6的兩個三角形全等，只要看出由圖中用單小弧標出的那4個角相等就明白了，要證明標號為4和標號為9的兩個三角形全等，只要看出由圖中用雙小弧標出的那4個角相等就明白了.其余是類似的.這樣，標號1至標號5這5個三角形的水平直角邊長的和等于標號6至標號10這5個三角形的水平直角邊長的和，即CP=CQ.從而C、D、E可以構成等腰三角形．

對于n是其它值的情形可以類似地證明，本文不再贅述．

作者簡介:解武，男，1971年生于江蘇省邳州市，1995年畢業于徐州師范大學數學教育專業，現為運河高等師范學校數學講師，主要研究方向高師數學教育.