再現定理的發現過程 設計自然的數學活動

《新課程標準》在表述教學目標時使用了“經歷（感受）、體驗（體會）、探索”等刻畫數學活動水平的過程性目標動詞，從而更好地體現了《標準》對學生在過程性目標的要求.章建躍老師也曾說過：沒有“過程”的教學把“思維的體操”降格為“刺激——反應”訓練，是教育功利化在數學教學中的集中表現.充分說明在教學的過程中“過程性目標”的重要性．

什么是 “過程”？這是許多老師困惑的問題.在實際教學中，教師認為設計教學過程引導學生尋找現成的結果、現成的觀點、現成的結論然后運用結論解決問題，這就是“過程性目標”，甚至認為“教學過程”即為“過程性目標”.所以，教師往往為了自己的教學更加“順暢與完美”，在設計中往往沒有考慮學生的認知規律，沒有考慮知識的發生發展過程而組織教學，在這種模式下學生的自主意識、創新意識沒有得到很好的發揮．

“過程”到底指的是什么？筆者認為，是指引學習者的思維過程，是在研究方向沒有任何提示的情況下學生思考問題的認知建構過程，甚至有時候應像數學家一樣研究數學的過程.也就是說把教學過程應設計成知識發生發展過程（自然、水到渠成）為載體的學生認知過程，以學生為主體的數學活動過程，強調學生數學思維的展開、深度參與.而不能以為更好的體現教師的“教”的目的設計教學過程，更不能以解題、應用為重點.特別是在“幾何定理”的教學中，重點不是定理的使用與解題，也不是為體現“教學的流暢”的教師的設計，而是以學生為主體的定理的發現過程.不但要關注學生分析問題，解決問題的能力，同時也要關注和培養學生發現問題，提出問題的能力.下面我們以兩個案例來說明.

案例1：《切線長定理》．

一、課例分析

在探究定理的教學中，教師設置如下數學活動：

活動1：分別畫出已知圓的一條切線；兩條相交的切線，

活動2：教師講解切線長概念，并強調辨析切線與切線長的區別，

圖1活動3：如圖1，利用圖形的軸對稱性，說明圖中PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？

活動4:得出猜想，驗證，形成定理并命名為切線長定理．

分析：在這樣的教學設計中，學生自始至終都是由教師牽著走，學生心里自然會產生以下幾個疑問：學習了切線之后為什么要畫兩條切線，有什么目的？為什么要給“這條線段長”下定義，有什么用處？為什么要比較“PA與PB，∠APO與∠BPO”的關系？在這樣的疑問中，如何發揮學生的主體作用？以上設計的數學活動中，雖說學生也經歷了“觀察——猜想——驗證——形成定理”的過程，但是，這一過程完全是在教師的“預設”中，教師預先布置好路線，確定好目標，學生要做的只是“按圖索驥”，并非由學生主動發現知識的過程，所以我要說，這樣的過程不是以學生的“學”為主的過程，而是教師為自己的“教”設定的過程.更不是以知識的發生發展為線索展開數學活動．

二、還原定理的發現過程，以學生為主體設計數學活動

古希臘數學研究幾何學的線索主要有兩條，一條是研究圖形本身的性質，另一種思路即是構圖，通過構圖研究圖形之間的關系及性質.我試著揣摩當時發現這個定理的數學家的情境，當他通過畫圓的一條切線研究了切線的性質及判定，很容易利用構圖思想，構造出圓的兩條相交的切線有哪些特殊的性質，當這位數學家通過觀察、猜想、驗證得出線段PA=PB，便試著用文字語言來描述這個定理，當他發現用文字語言描述PA，PB比較麻煩時，并給這條線段長下了個定義叫“切線長”，順勢將這個定理命名為“切線長定理”.所以，在教學的過程中，我們的活動的設計應回歸到數學研究的本質，教學的過程設計也不能從怎么樣教方便入手，而應從這個定理是怎么研究出來的設計教學，這樣才能真正的體現數學中“過程與方法”目標.基于以上的思考，可以將探究“切線長定理”的數學活動做如下設計：

活動1：前面我們學習了切線的性質以及切線的判定方法，幾何的研究過程實質是一個構圖的過程，我們能構造出圓的兩條相交的切線么？

圖2活動2：在你構造的圖形中（如圖2），你有什么發現？請寫出你的猜想，并加以驗證．

活動3：用文字語言表達你的發現．

活動4：當學生難以或用比較繁的語言表述線段PA時，教師介紹切線長定義，并辨析“切線長”與“切線”，順勢將此定理命名為“切線長定理”．

三、效果分析

這樣的設計立足于學生的學，以學生的主體活動為中心來展開教學，自然流暢，教師通過構圖思想引導學生發現問題，并學會自己或通過合作交流解決問題.定理的教學過程不僅要讓學生經過“觀察、實驗—猜想—驗證”的過程，更重要的是，學生應自主的發現問題并學會研究，教師不能代替學生找問題，整個教學的流程應讓學生體驗像數學家一樣去研究數學．

案例2：《圓周角定理》．

一、課例分析

在《圓周角定理》的教學過程中，教師一般如下設計：

活動一：請同學們在下圖中的每一個圓中畫出一個圓周角，并注意觀察圓心與圓周角的位置關系．

活動二：畫出同弧所對的圓心角，用量角器度量同弧所對的圓周角與圓心角的度數，并探究它們的關系，你能發現什么嗎？你們的猜想正確嗎？能證明嗎？

分析：同教材設計一樣，活動一的主要意圖是通過學生作圖歸納出如圖3所示圓周角與圓心的三種位置關系，以便于在后面的教學過程中利用完全歸納法證明圓周角定理；在活動二中，教師預先明確了探究的方向，直入主題，用量角器度量同弧所對的圓周角與圓心角的度數.試想，學生學習了圓周角定義之后，對于探究圓心與圓周角的位置關系有多大的興趣？明確了方向的探究的價值有多大？當然，在圓周角定理的教學過程中，學生同樣經歷了“測量—猜想—論證”的過程，但是，在這樣事先布置好的過程總感覺是以教師的“教”為主，是為教師教的順利而設計教學過程，而并沒有充分考慮以學生的“學”為主設計教學過程.試想，當學生獨自面對一個新的從未有人涉足過的領域里，有誰能幫他設計好探究的方向？又有誰能夠幫他設計好證明一個論題的思路.這也從側面反映了我們的學生解題能力很優秀，但探究能力很一般，這也正是導致學生探究能力沙化的一個重要的原因．

圖3二、還原定理的發現過程，以學生為主體設計數學活動

我試著還原圓周角定理的發現過程，也許發現圓周角定理的數學家是在無聊的時候多畫了一個或兩個圓周角，如圖4所示.突然的發現了畫出的圓周角大小相等，數學家試著直接證明這個命題，但是他做不到，在證明的過程中，他發現了同一條弧所對的圓周角有無數個，但是圓心角只有一個，同時他又發現了雖然同弧所對的圓周角有無數個，但是與圓心的位置關系只有三種，所以他試著從發現并論證同弧所對的圓心角與圓周角的關系，發現了同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍后，同弧所的圓周角相等這一命題并迎刃而解，在論證的過程中，使用了完全歸納法證明了此定理.基于以上的定理的發現過程，基于以學生的“學”為主的教學設計，可以將定理的教學過程做如下調整：

圖4 圖5活動一：試著在圖5圓中畫出弧AB所對的圓周角，可以多畫幾個，你有什么發現？

活動二：試著用文字語言表達你的猜想？思考能否驗證你的猜想？

活動三：如果不能完成“活動二”中論證，可以做如下思考，如圖5所示，弧AB所對的圓周角有無數個，但是它所對的圓心角只有一個，那么弧AB所對的圓周角與圓心角有沒有什么特殊的關系呢？請提出猜想并加以驗證．

活動四：在教師的指導下，利用歸納法驗證猜想并歸納出圓周角定理．

三、效果分析

與第一次設計相比，第二次的區別在于教師不直接為后面的教學服務而先探究圓周角與圓心的三種位置關系，而是直接讓學生發現圓周角的關系，并在證明的過程中提示學生考慮圓周角與圓心角的關系來證明，在證明的過程中也未必一定要按先特殊后一般的順序，可以讓學生觀察提出論證方法，這樣的設計也許教的不夠“流暢”，特別是在證明定理的過程中會碰到學生無法分類證明的現象，但是，它是一個“自然、自主”的過程，對于每一個學生，在學習定理的過程中應當獲得的不僅僅是對定理的認證，更重要的是學會發現問題，提出問題的能力，這樣的教學設計體現了落實“過程性目標”不是為教師的教服務，而是以學生的學服務.比較這兩種活動的設計它們有如下不同點：

總之，“過程性目標”的落實應立足于學生的發現，以學生的主體活動為中心來展開教學過程.學生在積極主動的參與教學活動過程 中以自己的經驗和知識為基礎，經過積極的探索和發現、親身的體驗與實踐，以自己的方式將知識納入到自己的認知結構中，并嘗試用學過的知識解決新問題.教師在這個過程中只是一個組織者、指導者和參與者.特別是在定理的教學過程中，其探究價值遠勝于應用定理解題價值，探究的過程中重要的是學會找到探究的方向，提出值得探究的問題，學會數學家一樣研究數學的方法，而這種機會往往稍縱即逝.“過程性目標”的核心是要把研究問題的過程與方法向學生充分、有序地展示，使學生在獲得知識的同時，獲得方法的熏陶與技能的提高，這才是“過程與方法”目標教學的“道”與“法”．