教材研讀拾穗:軸對稱圖形的對稱軸分布規律

我們如果能夠深入到事物和現象的本質里，去體驗“發現現象之間的出乎意料的相互聯系的那種驚奇的情感”（蘇霍姆林斯基語）.則這種驚奇的情感可以強化提出疑問的意識與對疑問的研究.現將作者在對初中數學教材研讀中，發現的軸對稱圖形的對稱軸分布規律及其一些應用，整理成章句，以體驗這種驚奇的情感．

1 軸對稱圖形中對稱軸分布的均勻性

觀察一個等邊三角形，你就會發現，它的三條對稱軸中，任一條對稱軸關于第二條對稱軸的軸對稱圖形是第三條對稱軸.對此屬性加以研究推廣，就可發現軸對稱圖形中對稱軸分布均勻的本質．

1.1 對稱軸分布均勻定理

軸對稱圖形如果有兩條對稱軸.則其中的一條對稱軸關于另一條對稱軸的軸對稱直線，也是該軸對稱圖形的對稱軸．

圖1證明:如圖1.兩直線m1與m2是軸對稱圖形C的兩條對稱軸，直線m3是直線m1關于直線m2的軸對稱直線.欲證直線m3是軸對稱圖形C的對稱軸，只要證明軸對稱圖形C上任一點A1關于直線m3的軸對稱點A4，也是軸對稱圖形C上的點．

設點A1關于直線m2的軸對稱點為A2，點A2關于直線m1的軸對稱點為A3.不難證明點A3關于直線m2的軸對稱點為A4.而兩個點A2與A3都是軸對稱圖形C上的點，故點A4也是軸對稱圖形C上的點.證畢．

當然，以上定理證明過程中，也隱含兩條已知對稱軸平行時的情形.但當一個軸對稱圖形C有兩條平行的對稱軸時，由以上定理，圖形C就會有無限多條彼此平行且等距離排列的對稱軸，使得在每條對稱軸兩側，圖形C向外延續．

圖2如圖2.圓心在同一條直線上，相鄰兩圓相切，半徑相等的在該直線向兩端排列著的無限多個圓構成的平面圖形，就具有上述特征．

因此，只有有限多條對稱軸的軸對稱圖形中，任意兩條對稱軸必相交.事實上，這些對稱軸共點．

1.2 兩條對稱軸正交定理

軸對稱圖形如果只有兩條對稱軸m1與m2.則m1⊥m2．

證明:否則，如圖1.兩條對稱軸m1與m2相交，其夾角α<90°.由對稱軸分布均勻定理，該軸對稱圖形就有與原兩條對稱軸均不重合的第三條對稱軸m3.與題設矛盾.證畢．

1.3 相鄰對稱軸夾角恒等定理

軸對稱圖形如果只有N（N>1）條共點的對稱軸.則其中任意相鄰兩條對稱軸的夾角都為πN．

證明:如圖1.設軸對稱圖形C的任意相鄰兩條對稱軸m1與m2的夾角為α.則由對稱軸分布均勻定理，直線m1關于直線m2的軸對稱直線m3，是軸對稱圖形C的對稱軸.而兩直線m2與m3也是軸對稱圖形C的兩條相鄰對稱軸，且它們的夾角為α.即相鄰夾角相等.所以，軸對稱圖形C的任意相鄰兩條對稱軸的夾角都為α=πN.證畢．

1.4 對稱軸正交性定理

軸對稱圖形如果只有偶數2N條共點的對稱軸.則對于其中的任意一條對稱軸，都存在著唯一的一條對稱軸與它互相垂直．

證明:設軸對稱圖形C的對稱軸為mn（n為整數，0

這樣，只有偶數2N條共點的對稱軸的軸對稱圖形中，互相垂直的對稱軸共有N對．

推論 軸對稱圖形如果只有奇數條共點的對稱軸.則其中任意兩條對稱軸都不會互相垂直（證略）．

1.5 三條對稱軸共點定理

軸對稱圖形如果只有三條對稱軸.則這三條對稱軸共點．

證明（反證法）:一個軸對稱圖形如果只有三條對稱軸，且這三條對稱軸不共點.因為，只有有限多條對稱軸的軸對稱圖形中，任意兩條對稱軸必相交.所以，這三條對稱軸兩兩相交于不共線的三點．

因此，由這三條對稱軸形成的三個夾角中必有一個小于90°.根據對稱軸分布均勻定理，其中必有一條對稱軸關于另一條對稱軸的軸對稱直線，是原軸對稱圖形的對稱軸，且這條對稱軸不會與原三條對稱軸中的任何一條對稱軸重合.故原軸對稱圖形就有與題設矛盾的第四條對稱軸.證畢．

一般地，如果將只有N條對稱軸的軸對稱圖形，稱之為N重軸對稱圖形.稱兩條對稱軸的交點為軸對稱圖形的重心.則有:

1.6 對稱軸共點定理（重心唯一定理）

N（N>1） 重軸對稱圖形的對稱軸共點．

圖3證明（反證法）:如圖3.一個軸對稱圖形C中，如果只有N（N>1）條對稱軸，且這N條對稱軸不共點.設其中一條對稱軸為m1.則其余N-1條對稱軸都與m1相交.交點分別為A、A1、A2、……AN-3、B，且有兩點A與B不重合.不妨設這些交點都在線段AB上．

與直線m1分別相交于點A、B的兩條對稱軸n1 、m2中，必有一條對稱軸與m1不垂直.否則，圖形C就有兩條平行的對稱軸，使圖形C有無限多條對稱軸，而與題設矛盾.因此，不妨設n1與m1不垂直.即 n1與m1的夾角α<90°．

由對稱軸分布均勻定理， n1關于m1的軸對稱直線n2，也是軸對稱圖形C的對稱軸，且n1與n2不重合.設兩直線n1、n2與直線m2的交點分別為C與D.則△ACD的兩個內角β、γ中必有一個小于90°.不妨設β<90°．

由對稱軸分布均勻定理， n1關于m2的軸對稱直線n3也是圖形C的對稱軸.設n3與m1的交點為E.則點E在線段AB外.因此，n3與原N條對稱軸各不重合.與題設矛盾.證畢．

1.7 軸對稱圖形旋轉定理

軸對稱圖形C如果有兩條相交于點O，夾角為α的對稱軸.則在同一平面上，圖形C繞著點O旋轉2kα（k為整數）后的圖形C1與圖形C重合．

證明:只要證明k=1時，原命題成立即可．

圖4如圖4.兩直線m與n是軸對稱圖形C的兩條相交于點O，夾角為α的對稱軸.設圖形C上一個點為A，點A關于直線m的軸對稱點為B，點B關于直線n的軸對稱點為D．

因為，∠AOD=2α，OA=OB=OD.所以，在同一平面上，點A繞著點O旋轉2α后的點亦為D.而兩點B與D均為圖形C上的點．

因此，將點D看成是圖形C上的任意一點，則點D是圖形C1上的點.將點D看成是圖形C1上的任意一點， 則點D是圖形C上的點.故兩圖形C1與C重合.證畢．

這樣，可以將軸對稱圖形C在以對稱軸交點為端點，交角為2α的兩條射線之間的部分，稱之為曲邊扇形．

假設軸對稱圖形C的對稱軸的條數有限，如果將角α看成是兩條相鄰對稱軸的夾角.這時，形成的以上曲邊扇形，在同一平面上，繞著對稱軸交點，分別旋轉2α、4α、6α、8α……，直到一周，就與自身重合.形成了圍繞對稱軸交點一周的有限個全等的曲邊扇形的組合.這個組合就構成了軸對稱圖形C．

至此，我們似乎明白，本文所稱的軸對稱圖形中對稱軸分布的均勻性，主要是指相鄰對稱軸夾角恒等定理與對稱軸共點定理.但不可否認的事實是這一均勻性的本質仍是對稱軸分布均勻定理.因為，它是前兩個定理得以證明的理論基礎．

2 對稱軸分布均勻性原理的一些應用

根據軸對稱圖形中對稱軸分布均勻性原理，我們可以更新一些數學命題的證明方法，發現與研究相關的數學新問題.以下舉例說明．

例1 等邊三角形的三條中線共點．

證明 由于等邊三角形三條中線所在的直線都是等邊三角形的對稱軸，且等邊三角形只有這三條對稱軸.根據對稱軸共點定理，可得等邊三角形的三條中線共點.證畢．

例2 （單項選擇題）一個軸對稱圖形中，如果有兩條對稱軸的夾角為30°.則該軸對稱圖形的對稱軸條數可以為……（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

說明 從出題者考慮，創作此題的關鍵是給出否定其余三項選擇支的理由.當然，還是應用相鄰對稱軸夾角恒等定理（答案:B）.

例3 當且僅當平面多邊形為正多邊形時，該平面多邊形是軸對稱圖形，且對稱軸條數等于它的邊數．

證明 當平面多邊形是軸對稱圖形，且對稱軸條數等于它的邊數時，其對稱軸必經過平面多邊形的頂點或邊上中點，且這些對稱軸共點.由軸對稱圖形旋轉定理即可證得該平面多邊形為正多邊形.反之顯然.證畢．

綜上所述，作者認為:數學的奇妙，不僅僅在于發現與揭示規律，也在于構思與眾不同的推理過程——使你享受思考的樂趣!