對(duì)初中階段尺規(guī)作圖教學(xué)的反思和建議

尺規(guī)作圖，顧名思義，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，它起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題.尺規(guī)作圖只準(zhǔn)使用圓規(guī)和直尺有限次，歷史上關(guān)于尺規(guī)作圖的著名問題較多，例如，“三等分角”、“立方倍積”、“化圓為方”和“高斯與尺規(guī)作十七邊形”等等．

筆者作為青年教師在聽課的過程中，不時(shí)觀摩到教師講授有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容，對(duì)于尺規(guī)作圖，執(zhí)教的老師各有標(biāo)準(zhǔn)，課后就該內(nèi)容與老師們的交流中，發(fā)現(xiàn)不少教師認(rèn)為初中階段涉及尺規(guī)作圖的類型較少；同時(shí)，由于《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中對(duì)所要掌握的尺規(guī)作圖的類型和要求比以往教學(xué)大綱有所減少，特別是在中考復(fù)習(xí)階段，教師教學(xué)中對(duì)該內(nèi)容的處理“方法單一”或者干脆匆匆?guī)н^，學(xué)生只要掌握或者就是記住基本的操作方法即可，對(duì)尺規(guī)作圖在教學(xué)中的作用認(rèn)識(shí)不足，這個(gè)現(xiàn)象引起筆者的思考.尺規(guī)作圖在現(xiàn)今的初中階段教學(xué)中可作如何調(diào)整？調(diào)整意義在哪里？在此和大家做個(gè)探討，談一點(diǎn)自己的反思和建議．

1 應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生尺規(guī)作圖方法多樣化

尺規(guī)作圖教學(xué)，特別是在復(fù)習(xí)階段，對(duì)作圖方法的復(fù)習(xí)只是將書本上的作圖過程簡單“過一遍”，學(xué)生只需理解這一方法的由來甚至就只是記住即可.其實(shí)，方法的多樣意味著考慮問題的出發(fā)點(diǎn)的不同，所涉及的知識(shí)的也就不同.方法的不同需要學(xué)生自己動(dòng)手操作，觀察、大膽猜想、構(gòu)思出不同于已有解決問題的畫法.在構(gòu)思畫法的過程中，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)該畫法進(jìn)行必要的證明.在中考復(fù)習(xí)階段，課程內(nèi)容已講授完畢，教師通過對(duì)尺規(guī)作圖問題方法的多樣化，可使學(xué)生充分聯(lián)系前后所學(xué)知識(shí)，并使知識(shí)得以“內(nèi)化”，理解更全面和深入．

案例1 已知線段AB，作出該線段的中垂線．

教學(xué)中普遍采用分別以A、B為圓心，以大于AB2的長度為半徑畫圓，則此兩圓的交點(diǎn)分別位于線段AB的上下兩側(cè)，過這兩點(diǎn)作直線即為該線段的中垂線，如圖1所示.

圖1上述作法的原理在八年級(jí)即已知曉，但在中考復(fù)習(xí)階段，教師不僅只是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)原有作圖方法的由來，還可引導(dǎo)學(xué)生分析原有作法，對(duì)原有作圖的原理進(jìn)行新的認(rèn)識(shí)，從而利用前后知識(shí)間的聯(lián)系，突破成法.教學(xué)中在復(fù)習(xí)處理上述案例1的問題時(shí)可以向?qū)W生提出是否可以只作出C點(diǎn)即可？這樣可引導(dǎo)學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，作出∠C的角平分線，即可知道該角平分線垂直且平分線段AB.在此過程中，教師幫助學(xué)生從已有的思維定勢(shì)中跳出；同時(shí)，也在一定程度上展示怎樣從已解決問題的基礎(chǔ)上“提出問題”，培養(yǎng)學(xué)生“問題意識(shí)”．

2 教學(xué)中對(duì)尺規(guī)作圖的重視還應(yīng)加強(qiáng)

尺規(guī)作圖是問題解決的不可分割的一部分.筆者參加一堂九年級(jí)關(guān)于三角形全等判定的復(fù)習(xí)課聽課過程中發(fā)現(xiàn)，該班（該班相當(dāng)部分學(xué)生學(xué)習(xí)能力偏低）相當(dāng)部分同學(xué)無法確定為什么“SSA”不能作為三角形全等判定的準(zhǔn)則，不少同學(xué)甚至認(rèn)為“SSA”可以作為三角形全等的判定準(zhǔn)則，課后詢問為什么不確定，同學(xué)反映教師對(duì)這個(gè)問題解釋過為什么，要求記住，雖然給出相應(yīng)的解釋，但他們理解起來有困難，因而難免有類似錯(cuò)誤在做題中出現(xiàn).同時(shí)，一些關(guān)于幾何命題（命題為真）的逆命題是否為真往往不易判斷．

在幾何教學(xué)中，針對(duì)某些這樣的問題，用尺規(guī)作圖很容易構(gòu)造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有很強(qiáng)的說明力．

案例2 “SSA”不能作為三角形全等的判定準(zhǔn)則．

如圖2，在直線a上，作∠A，固定AB長度.以B點(diǎn)為圓心作圓弧，在a上可以有兩個(gè)交點(diǎn)C和D，這樣得到的兩個(gè)三角形△ABC和△ABD有兩邊相等（AB=AB，BC=BD）和一個(gè)公共角（∠A），但顯然這兩個(gè)三角形不全等．

圖2同時(shí)，應(yīng)利用尺規(guī)作圖對(duì)上述問題進(jìn)一步深入（最好是學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果沒有，則教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將此問題解決.）.由于此處作出的∠A為銳角，那么是否∠A為直角或者鈍角時(shí)“SSA”也不成立？筆者在同不少同學(xué)的交流中發(fā)現(xiàn)，絕大部分同學(xué)能清楚的知道在∠A為直角時(shí)，“SSA”是成立的（在中考復(fù)習(xí)階段，最好由學(xué)生說明理由），但對(duì)于∠A為鈍角，則相當(dāng)多同學(xué)認(rèn)為不行，其實(shí)如圖2，在∠A是鈍角的時(shí)候，對(duì)邊BC是最大邊，不可能有另外的解，即在∠A是鈍角的時(shí)候，“SSA”依然成立．

案例3 直角三角形斜邊上的中線等于其斜邊的一半，逆命題不真．

上述案例來自筆者所任教的一個(gè)九年級(jí)班級(jí)，筆者在復(fù)習(xí)關(guān)于“直角三角形斜邊上的中線等于其斜邊的一半”的內(nèi)容時(shí)，向全班同學(xué)提出“假如一個(gè)直角三角形ABC，∠BAC=90°，E是BC上一點(diǎn)，且AE=BC2，那么AE是否為BC邊上的中線？”

一開始，大部分同學(xué)均認(rèn)為上述命題是成立的，因?yàn)榭捎谩巴环ā闭f明這個(gè)問題，如圖3所示，AD是BC邊上的中線，AD=BC2，由于已知AE=BC2，所以自然有AD=AE，即E與D重合（圖3）.這時(shí)筆者提出該問題同學(xué)們的做法可能有不嚴(yán)密的地方，如圖4，三角形EDA可能是等腰三角形．

圖3 圖4事實(shí)上，上述問題完全可以利用尺規(guī)作圖加以解決和探究，我們以D為圓心，AD為半徑畫一個(gè)圓，由AD=BC2可知BC正好為所畫圓的直徑.如圖5，再以A點(diǎn)為圓心，AD長為半徑畫圓弧，圓弧與BC相交于點(diǎn)E，此時(shí)AE=AD=BC2，這樣也就直觀和明了地發(fā)現(xiàn)了上述命題的逆命題是假命題．

圖5更進(jìn)一步深入，借助尺規(guī)作圖（圖5），我們可引導(dǎo)學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)上述逆命題要成立的條件是什么（發(fā)現(xiàn)∠ABC和∠ACB的角度大小關(guān)系或者邊AB和邊AC長度關(guān)系是決定逆命題是否成立的關(guān)鍵，這樣就對(duì)“大角對(duì)大邊”的認(rèn)識(shí)更加直觀和深入），問題得以延伸和拓展．

3 教材中尺規(guī)作圖的基本類型偏少

按照《課標(biāo)》所倡導(dǎo)的理念，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自己動(dòng)手，通過翻折、度量、拼湊、類比等方法進(jìn)行幾何操作，那么，尺規(guī)作圖正是包含這樣的活動(dòng).實(shí)際教學(xué)中，尺規(guī)作圖是一種“問題情境”的創(chuàng)設(shè)，即在某種問題條件下，由學(xué)生自己動(dòng)手解決問題.學(xué)生能作出一張符合要求的圖形，即使該圖形較簡單，也是一種具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的活動(dòng)，在這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生探索運(yùn)用知識(shí)，構(gòu)思作圖方法，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行直觀理解，興趣和創(chuàng)新精神得以培養(yǎng).在幾何教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“觀察、操作、推理”的今天，尺規(guī)作圖的基本類型偏少.

案例4 給定兩條相交直線和其中一條上的一個(gè)點(diǎn)P，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)圓與兩條直線都相切，并以P為一個(gè)切點(diǎn)［1］．

圖6筆者曾將案例４中的問題請(qǐng)工作所在學(xué)校的九年級(jí)部分學(xué)生試做，結(jié)果發(fā)現(xiàn)絕大部分試做的同學(xué)都能構(gòu)思出解決問題的辦法：如圖6，作出∠BAP的角平分線AD，利用切線的性質(zhì)，角平分線AD上某點(diǎn)即為圓心.找到該點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，以該點(diǎn)和點(diǎn)P兩點(diǎn)距離為半徑畫圓即可.但接下來在如何確定圓心所在位置，即過點(diǎn)P作直線AP的垂線與角平分線AD相交時(shí)，學(xué)生們的做法出現(xiàn)較大差異，歸納起來，可分為以下幾種典型方法：

作法1：直接利用直角三角板的刻度線與邊沿的垂直關(guān)系畫出垂線．

作法2：直接利用直角三角板的直角畫出垂線．

作法3：直接利用量角器畫出垂線．

以上三種作法中，第一種是不規(guī)范的操作方法；作法2與作法3是《課標(biāo)》對(duì)垂線的畫法要求.實(shí)際上此題的尺規(guī)作法屬于“過直線上一點(diǎn)作直線的垂線”，該作法在以前的《教學(xué)大綱》上有，現(xiàn)在《課標(biāo)》已刪除.刪去了基本作圖類型里的“過直線上一點(diǎn)作直線的垂線”除了造成初中階段尺規(guī)作圖題的不純粹，也使教學(xué)中失去了培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作，在操作中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握的過程．

筆者對(duì)其中部分同學(xué)加以適當(dāng)點(diǎn)撥后（利用畫線段中垂線的方法或者等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)），這部分同學(xué)均能理解并迅速利用尺規(guī)畫出題目所要求的圓．

同時(shí)，還發(fā)現(xiàn)在案例4中有一個(gè)有趣的現(xiàn)象，即參加試做的同學(xué)在畫出類似圖6的示意圖時(shí)，相當(dāng)多的同學(xué)只考慮到給∠BAP作角平分線AD（可能與平時(shí)的視覺習(xí)慣有關(guān)），忽視還有一種情況（圖7）.但當(dāng)筆者請(qǐng)他們對(duì)圖6再仔細(xì)看看時(shí)，所有學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)這個(gè)疏漏，這便是尺規(guī)作圖在教學(xué)中具有的直觀明了．

圖7案例5 給定一個(gè)△ABC，試用直尺和圓規(guī)作一平行于底邊BC的直線DE，將△ABC的面積分為兩部分，且SADE∶SDBCE=1∶3，如圖8所示．

圖8筆者將案例5中的題目請(qǐng)自己所在任教學(xué)校九年級(jí)部分同學(xué)試做，在試做過程中發(fā)現(xiàn)絕大部分同學(xué)在分析完題目的條件后都能準(zhǔn)確知道DE為△ABC的中位線，但在作出這條中位線的過程發(fā)現(xiàn)試做此題的同學(xué)均是將邊AB和邊AC的中點(diǎn)D和E分別作出，然后連接DE．

但當(dāng)筆者要求只用一個(gè)中點(diǎn)作出邊BC的平行線時(shí)，幾乎所有的同學(xué)均不能用尺規(guī)作出DE．

該作圖類型屬于現(xiàn)在《課標(biāo)》中沒有的內(nèi)容：“過一點(diǎn)作已知直線的平行線”.刪去這一條對(duì)教學(xué)并無多大影響，但這一條所涉及的作圖原理對(duì)初中階段，特別是八、九年級(jí)學(xué)生而言是比較容易接受的，在《課標(biāo)》倡導(dǎo)教學(xué)應(yīng)使學(xué)生“做中學(xué)”的理念下，刪去這一條使得學(xué)生失去一個(gè)通過自己動(dòng)手和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的機(jī)會(huì)，比較可惜．

事實(shí)上，案例4和案例5中作圖所涉及的基本原理是初中階段幾何知識(shí)中最基礎(chǔ)，也是最重要的知識(shí)，教師可利用這些基本原理，創(chuàng)設(shè)較豐富的“幾何問題情境”，學(xué)生運(yùn)用這些基本知識(shí)，借助直尺和圓規(guī)，在作圖的學(xué)習(xí)活動(dòng)中不斷思考問題，尋找問題解決的方法，正是一個(gè)觀察、操作、驗(yàn)證的過程，這對(duì)于學(xué)生加深對(duì)這些知識(shí)的理解和培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力是有益的．

4 反思和建議

在尺規(guī)作圖問題上，以往的教學(xué)大綱同現(xiàn)在的《課標(biāo)》相比，教學(xué)大綱對(duì)幾何作圖的要求很高，需要掌握的類型較多，包括“直線形”、“圓”、“比例線段”、“面積”四類.在圓的部分，有作“內(nèi)接圓”、“外切圓”、“旁切圓”、“弓形”等；在比例線段中有“內(nèi)分”、“外分”、“定比”等；面積部分要求作“和已知正方形等積的正方形”等.其中的大多數(shù)已經(jīng)不符合我們現(xiàn)在教學(xué)的發(fā)展，需要?jiǎng)h減.但是，其中的第一類：關(guān)于直線形的作圖類型，即以下7條：

1.作一角等于已知角；

2.已知三邊或兩邊一夾角或兩角一夾邊作出三角形；

3.過已知點(diǎn)作已知直線的垂線；

4.過一點(diǎn)作已知直線的平行線；

5.平分一角；

6.作已知線段的垂直平分線；

7.分一線段為n等份.

上述7條卻是應(yīng)該保留的，這7條，簡單、準(zhǔn)確、實(shí)用、理性，是尺規(guī)作圖的精華所在，試想，如果學(xué)生都理解以上7條作圖步驟的由來，都能用圓規(guī)和直尺將其作出，那么對(duì)整個(gè)初中幾何知識(shí)的組成和結(jié)構(gòu)就會(huì)有個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)［2］.有了這7條，本文案例中涉及的一些問題也就迎刃而解.實(shí)際教學(xué)中，這7條學(xué)生十分容易理解和接受，也便于操作.《標(biāo)準(zhǔn)》沒有1，3，4，卻要求5，6，這一點(diǎn)值得商榷．

同時(shí)，上述7條與圖形運(yùn)動(dòng)有密切的聯(lián)系.《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)圖形的運(yùn)動(dòng)，包括平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等變換，尺規(guī)作圖是實(shí)現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)的極佳手段.從邏輯上看，尺規(guī)作圖作為圖形變換的一種手段是成立的［3］.比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直尺作一條射線，再用圓規(guī)以已知角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，在已知角的一邊上畫弧截取一段線段，再在射線上截取線段，使其長度等于已知線段，其中截取的過程，實(shí)質(zhì)是以射線端點(diǎn)為圓心，以已截取線段長為半徑畫弧，交射線于一點(diǎn)，其中射線的端點(diǎn)是所作的線段的一個(gè)端點(diǎn)，弧與射線的交點(diǎn)是線段的另一個(gè)端點(diǎn).這里體現(xiàn)了線段的兩種“運(yùn)動(dòng)”，用圓規(guī)在射線上截取線段的長度，可以看作是平移，而畫弧的過程，實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)變換.再如，平分一個(gè)角，使用圓規(guī)直尺可以順利地作出來，且方法嚴(yán)謹(jǐn)縝密，這種基本的作圖方法，是學(xué)生掌握?qǐng)D形對(duì)稱的直觀根據(jù).

鑒于此，筆者認(rèn)為在初中階段的幾何教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況，創(chuàng)設(shè)問題情境，適時(shí)將以上7條中的某些部分引入教學(xué)，對(duì)已有的尺規(guī)作圖方法進(jìn)行充實(shí)和完善.同時(shí)，在教學(xué)中可采用這樣的步驟：① 要求學(xué)生畫出草圖，假設(shè)圖形已作出；② 根據(jù)圖形分析畫法；③ 利用尺規(guī)嚴(yán)格操作并寫出作法；④ 對(duì)作法進(jìn)行證明，某些作法來由盡可能要求學(xué)生“一法多證”.學(xué)生按照這樣的步驟進(jìn)行作圖學(xué)習(xí)的過程，正是一個(gè)猜想、觀察、操作、驗(yàn)證的過程，這一過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力，也有利于激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造性．

參考文獻(xiàn)

［1］ A.H.Schoenfled. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press，1985.

［2］ 樂嗣康，崔雪芳，張奠宙.尺規(guī)作圖教學(xué)的現(xiàn)代意義［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005，（12）．

［3］ 劉芳.對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的三個(gè)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2009，（10）．