例說解析幾何中的解題求簡意識

解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，若使用方法不當(dāng)，往往會使解題過程繁瑣冗長，以至很難解答出問題.因此如何選取合理解題途徑與方法簡化運算就顯得尤為重要.本文結(jié)合具體問題，從回歸定義意識、巧設(shè)方程意識、整體推進意識、借助平幾意識、向量滲透意識、結(jié)論應(yīng)用意識六個方面談?wù)勅绾螐娀蠛喴庾R，提高解析幾何的求解能力.

所謂求簡意識，是指在求解過程中，全面考查題設(shè)條件以及條件和結(jié)論的聯(lián)系，經(jīng)過分析、比較，選擇最佳的求解過程的意識.解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，若使用方法不當(dāng)，往往會使解題過程繁瑣冗長，以至很難解答出問題結(jié)果.因此如何選取合理解題途徑與方法簡化運算，就顯得尤為重要.下面結(jié)合具體問題，從幾個方面談?wù)勅绾螐娀蠛喴庾R，提高解析幾何的求解能力.

一、回歸定義意識

波利亞曾說過：“當(dāng)你不能解決一個問題時，不妨回到定義去！”利用定義解題是一種最直接、最本質(zhì)的方法，能起到事半功倍的效果.正確理解概念，掌握其本質(zhì)屬性，并在運用中不斷加深認(rèn)識，是強化求簡意識的必要前提.

例1：已知點P（1，-1），曲線C：■+■=1的右焦點為F，點M在曲線C上運動，求2|MF|+|MP|的最小值.

分析：如果以動點M的坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系式， 求函數(shù)的最小值，思路易得到，但運算較困難，如果能正確理解橢圓的定義，將2|MF|轉(zhuǎn)化為|MN|，再利用幾何性質(zhì)|MN|+|MF|≥|M0N0|+|M0P|，則能簡捷地求出最小值，即|PM0 |=3.

點評：凡涉及焦點坐標(biāo)、離心率、準(zhǔn)線、焦準(zhǔn)距、焦半徑等問題，往往與定義有關(guān)，求解時采用回歸定義策略能避開復(fù)雜的運算，使問題巧妙獲解.

二、巧設(shè)方程意識

根據(jù)題設(shè)條件特點，選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程和圓錐曲線方程是強化求簡意識的重要手段.

例2：求漸近線為x+2y=0且與直線5x-6y-8=0相切的雙曲線的方程.

分析：若設(shè)雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，由于焦點位置不確定，則需分情況討論.但如果根據(jù)漸近線方程和雙曲線方程的關(guān)系，把雙曲線方程設(shè)為x2-4y2=λ（λ≠0），則可避開討論.設(shè)切點為（x0，y0），通過雙曲線方程又可把切線方程巧設(shè)為xx0-4yy0-λ=0，它應(yīng)與5x-6y-8=0重合，得λ=4，從而雙曲線方程為■-y2=1，整個解題思路體現(xiàn)出簡潔之美.

點評：求曲線方程時，若能根據(jù)題目的特點，采用相應(yīng)的設(shè)法，則可達到避繁就簡的目的.

三、整體推進意識

在解析幾何學(xué)習(xí)中，若把要解決的某些數(shù)學(xué)問題當(dāng)作一個整體，對其進行整體分析，整體變換，整體轉(zhuǎn)化，能起到以簡馭繁作用.從整體入手處理問題是強化求簡意識的重要思想.

例3：已知點P（a，b）是圓C：x2+y2=r2外一點，過P點引圓C的兩條切線，切點為A、B，求過A、B兩點的直線方程.

分析：若按常規(guī)思想方法，則先求出A、B兩點的坐標(biāo)，再求出直線方程.本題由于是字母運算，計算繁雜，學(xué)生往往望而生畏.如果運用“設(shè)而不求”的整體思想：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)A（x1，y1）、B（x2， y2），但不急于去求A、B的坐標(biāo)，再充分考慮題中條件的內(nèi)在聯(lián)系，整體推進，使問題解答趨于簡潔.事實上，設(shè)A（x1，y1）、B（x2， y2），則切線PA、PB的方程分別為x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，由于PA、PB都過P點，所以有ax1+by1=r2，ax2+by2=r2，又因為兩點確定一條直線，故直線AB的方程為ax+by=r2.