化斜為平 避繁就簡

圓錐曲線家族的三大元老：橢圓、雙曲線、拋物線一直活躍在高考舞臺上，這一大家子的穩定地位歸功于他們統一和諧的第二定義：即動點與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數e（定點不在定直線上），當0＜e＜1時，動點的軌跡是橢圓；當e＞1時，動點的軌跡是拋物線；當e=1時，動點的軌跡是雙曲線.這又使我們不得不驚嘆于數學定義形式的簡潔美與統一美.

如果把曲線上的點到焦點的距離看成“斜線”，該點到相應準線的距離視作“平線”，在解題中通過已知條件，使用第二定義，化“斜線”為“平線”，常常能簡化計算，達到事半功倍的效果，并且可以舉一反三，解決“家族中的一類題”.

一、“化斜為平”，快解焦點弦

【例1】 已知橢圓x29+y2=1，過左焦點F傾斜角為30°的直線交橢圓于A、B兩點，求AB的長.

解：∵a=3，b=1，c=22，∴F(-22，0).

直線方程為y=33(x+22)，

與x29+y2=1聯立消元，得4x2+122x+15=0.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由韋達定理得x1+x2=-32，｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜=2a+e(x1+x2)=2.



點評：對于焦點弦長問題，利用第二定義，“化斜為平”，避免弦長公式復雜的計算，簡單且不易出錯.

二、 “化斜為平”，巧定最值點

【例2】 已知定點A(-2，3)，點F為橢圓x216+y212=1的右焦點，點M在該橢圓上移動時，求｜AM｜+2｜MF｜的最小值，并求此時點M的坐標.

解：∵a=4，b=23，c=2，

∴e=12.



右焦點F（2，0），右準線方程l：x=8.

設點M到右準線的距離為d，則得｜FM｜d=e=12，得2｜MF｜=d.

∴｜MA｜+2｜MF｜=｜MA｜+d.

由于點A在橢圓內，過A作AK⊥l，K為垂足，易證｜AK｜為｜MA｜+d的最小值，其值為8+2=10，此時點M的坐標為(23，3).

點評：以上解法就是橢圓第二定義的巧用，將斜線MF轉化為直線MK，就可以使問題變得簡單易解了.對于這一類題目：“已知橢圓或雙曲線或拋物線，F為其焦點，定點A為曲線內一點，求曲線上一點M使｜MA｜+1e｜MF｜最小，其中e為離心率”，都可以這樣解決.

三、“化斜為平”，妙求離心率

求橢圓或雙曲線的離心率，頗受高考命題人的青睞.一般情況下是利用已知條件構建關于e的方程，進而求之.但通法往往也容易造成學生思維定勢，問題出現的形式稍有些變化，很多學生便無從下手或是策略不當.請看下面的例題：

【例3】 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞b＞0)

，過左焦點F的直線傾斜角為60°與雙曲線交于兩點A、B，且AF=5FB，求雙曲線的離心率.

解：設橢圓對應于F的準線為l，作AA1⊥l，BB1⊥l，

作BH⊥AA1，垂足為H.

由題意設｜FB｜=t，則｜AF｜=5t，由第二定義，

AA1=5te，BB1=te，

∴AH=3t.

∴5te-3t=te.

∴5e-3=1e.

∴e=43.

點評：抓住過焦點這一特征，化斜線為平線，運用雙曲線第二定義和平面幾何知識來解決問題，事半功倍.

變式 將靜態的相等問題演變成一個動態的不等問題:

AB是過橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左焦點F的一條動弦，AB的斜率k∈［34，43］，且3a2-4a2=0，記AFFB=λ，求λ的取值范圍.

通過對圖形的觀察分析，找到解決問題的突破口，歸納總結出一類問題最本質的解法，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的.長此以往，必將能促進學生深入理解數學的本質，提高數學素養.

(責任編輯 金 鈴）