面積方法在初中數學競賽中的應用
2012-04-29 00:00:00蔣必昆
中學教學參考·理科版 2012年1期
以有關面積的公式、定理為工具來解題的方法稱為面積方法.這種方法既可解決代數中涉及面積的問題，又可以解決幾何中涉及面積的問題，同時也可以解決生活實際與數學活動中的面積問題.下面結合實例談一談面積方法在解決初中數學競賽問題中的應用.
一、面積方法在不等式問題中的應用
【例1】 已知a，b，c，x，y，z均為正實數，且a+x=b+y=c+z=k.
求證:ay+bz+cx 證明:構造一個邊長為k的正△ABC，并在AB、BC、CA上分別取點D、E、F，滿足AD=a，DB=x，BE=c，EC=z，CF=b，FA=y，連接DE、EF、DF. 通過以上問題的解決，可以培養學生將代數問題轉化為幾何問題，利用數形結合思想，運用面積方法解決問題的能力. 二、面積方法在平面幾何定值問題中的應用 圖2 【例2】 如圖2，銳角△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點H，且分別交邊BC、CA、AB于D、E、F. 求證：HDAD+HEBE+HFCF=1. 分析：HD、AD分別看作△HBC和△ABC的高， 于是有 HDAD=S△HBCS△ABC，同理也有 HEBE＝S△HCAS△ABC， HFCF=S△HABS△ABC，這三個式分別相加得證. 以上的面積問題還可以推廣為更一般的如下問題： 圖3 【例3】 如圖3，設P是△ABC內任一點，AD、BE、CF是過點P且分別交邊BC、CA、AB于D、E、F. 求證：PDAD+PEBE+PFCF=1 . 分析：分別過P、A作BC的垂線PG、AH，垂足分別為G、H.根據三角形相似可得PDAD=PGAH，從而PDAD=S△PBCS△ABC，然后用類似于例2的方法證明. 通過以上問題的解決，不但拓寬了學生用面積方法解題的思路，而且培養了學生用面積方法解答不涉及面積的平面幾何問題.這類問題常常需要把線段的長度轉化為面積，然后利用同底的兩個三角形的高之比等于面積之比（或同高的兩個三角形的底之比等于面積之比）巧妙地加以解決.以上問題還可以做進一步的變式訓練： 圖4 如圖4，在矩形ABCD中對角線AC與BD交于點O，P是AD上的一個動點， PE⊥AC，PF⊥BD，且AB=3，BC=4，求PE+PF的值.(全國初中數學競賽) 三、面積方法在生活實際問題中的應用 【例4】 如圖5，某公園中有一塊四邊形ABCD的草地，中間有一條曲 圖5 折的路EFG，現在要求把曲折的路EFG改成直路并保持原來路兩邊的面積不變. 分析：假設直路GH適合條件，連接HF，則S△EHF=S△GHF，從而有S△EHG=S△EFG，也就是點H、F到EG的距離相等，即HF∥EG，故只要過點F作EG的平行線，就能得到點H，從而作出適合條件的直路HG. 解：連接EG過點F作直線l∥EG交CD于點H，連接HG就滿足條件. 理由如下： ∵l∥EG， ∴S△EHG=S△FEG. 故路兩邊的面積保持不變，所求的直路HG滿足要求. 通過以上問題的解決，不但培養了學生應用數學知識解決生活實際問題的能力，而且逐步形成了應用數學知識的思想意識，使學生了解數學在實際生活等方面的廣泛應用，從而提高了學生對數學學習的興趣，并逐步形成應用數學的良好習慣. (責任編輯 金 鈴）
