巧用拋物線準線解題
2012-04-29 00:00:00李猶發
中學教學參考·理科版 2012年1期
在解平面幾何題目時，我們經常要利用添加輔助線的方法，從而可使問題迎刃而解.而在處理解析幾何題目時，我們卻不太注意添加輔助線，尤其在解答拋物線題目時，如果能巧妙添加輔助線，則能簡化問題，而且添加輔助線的方法也很簡單，往往就是拋物線的準線.
根據拋物線的定義可知道，拋物線上各點到焦點的距離等于它到準線的距離.利用這一特點，我們可以從兩方面去利用拋物線的準線.
一、等距交換
【例1】 過拋物線 y2=2px （p＞0 ）的焦點F作直線l與拋物線相交于A（m，n）、B（a，b）兩點，則有（ ）.
A.|AB|a+m+p B.|AB|=a+m+2p
C.|AB|=a+m-p D.|AB|=a+m-2p
分析：解這個題目時，最初很容易想到利用兩點間距離公式
來求|AB|.
|AB|= (a-m)2+(b-n)2
=a2-2am+m2+b2-2bm+n2.(1)
由于點A和點B都在拋物線y2=2px上，故有n2=2mp和b2=2ap.把n2=2mp和b2=2ap代入（1）式得：
|AB|=a2-2am+m2+b2-2bm+n2=a2-2am+m2+2ap-2bm+2mp .（2）觀察（2）式，其結構與題目所提供的四個備選答案，其結構相差甚遠，容易誤導學生.其實，如果給拋物線添加準線QK，過點A和點B向準線作垂線AQ和BK（Q和K分別是垂足）.把|AF|和|BF|分別轉換為|AQ|和
|BK|，問題會迎刃而解.
解：分別過點A和點B向拋物線的準線作垂線AQ和BK（Q和K分別是垂足），根據拋物線定義可知準線方程為x=-p2，且有
|AF| = |AQ| =m-(-p2)=m+p2，（3）
|BK| = |BF| =a-(-p2)=a+p2.（4）
由(3)、（4）兩式相加可得：
|AF|＋|BK| = （m+p2）＋（a+p2），即|AB|=a+m+p.故應選（A）.
解題心得：解決本題的關鍵在于把線段AB分解為AF＋FB，再把|AF|和|FB|轉換為|AQ|和|BK|，而|AQ|和|BK|均來自于拋物線的準線的出現.利用以上方法可以解決類似的題目:
過拋物線y2=2x的焦點作一直線交拋物線于A、B兩點，且A、B兩點到該拋物線焦點距離之和為5，求線段AB中點的橫坐標.
解題思路：設A（x1，y1）、B（x2，y2），根據上題的分析結果可有：
x1＋x2＋1=5，故線段AB中點的橫坐標為：x1+x22=5-12=2.
二、等線轉移
【例2】 設F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，M為拋物線上一點，若存在定點A（a，b）（b2＜2pa），使|AM|＋|MF|最小，求M的坐標.
分析：由b2＜2pa易知，點A在拋物線的內部（如上圖所示）.同時由于|AM|＋|MF|的大小是一條折線的長度，隨著點M位置的改變，其長度也跟著改變，很難求出其最小值.為此，我們不妨過點M向拋物線的準線作垂線MN（N為垂足），根據拋物線準線的特性可知，
|MF| = |MN|.這就相當于把線段MF轉移到線段MN，這時有|AM|＋|MF| = |AM|＋|MN|.|AM|＋|FM|最小時，|AM|＋|MN|也最小.因此不難得出，當A、M、N三點共線時，|AM|＋|MN|最小，故過A向拋物線準線作垂線，垂線與拋物線的交點就是所求點M的位置，從而求出M的坐標.
解：由A（a，b）及b2＜2pa易知，點A位于拋物線的內部，過A向拋物線的準線作垂線（N為垂足）與拋物線相交，交點的位置就是所求的點M的位置.因此可設A（x，b），
這時有|MF| = |MN|，
即|AM|＋|MF| = |AM|＋|MN|.
∵A、M、N三點共線，
∴點A到點N的距離最短，即|AM|＋|MN|最小，故|AM|＋|MF|
也最小.
∵點A位于拋物線C的內部，
∴b2=2px.
∴x=b22p，故M（b22p，b）為所求.
解題心得：解決本題的關鍵是根據拋物線上的點到拋物線焦點的距離等于該點到拋物線準線的特點可知，當M點在拋物線上時，|MF| = |MN|，相當于把線段MF轉移到線段MN上，顯然，當A、M、N三點共線時，|AM|＋|MN|最小，即|AM|＋|MF|也最小.應用類似方法可以解決以下題目：
若點A的坐標為（3，2），F為拋物線y2=2x的焦點，點P為y2=2x上的一動點，求：當|AP|＋|PF|取得最小值時點P的坐標.
解題思路：易知A（3，2）在拋物線y2=2x的內部，根據上題的分析結果，過點A向拋物線y2=2x的準線作垂線與拋物線y2=2x相交，交點即為所求的點P的位置，設
P（x，2），這時有22=2x，從而x=222=2，故P（2，2）為所求.
(責任編輯 金 鈴）
