用幾何畫板優化含參數的二次函數最值的解法

含參數的二次函數的最值是中學數學中最重要的知識點之一.此類問題主要包括以下四種情形：軸定區間定、軸定區間變、軸變區間定和軸變區間變.后三者因有變的因素，而成為教學難點，傳統教學很難突破.解決的關鍵是明確對稱軸與定義區間的相互位置關系.因為幾何畫板是動態數學軟件，可以很形象地刻畫動與靜、變與不變的關系.因此，本文應用幾何畫板制作課件來優化此類問題的解法，達到突出重點和突破難點的目的. 

一、軸定區間變的二次函數最值的課件制作案例

【例1】 求二次函數y=f(x)=x2-2x+3在區間［t，t+1］上的最值.

第一步：繪制函數y=f(x)=x2-2x+3的圖象.新建畫板，選擇【繪圖】|【繪制新函數】，在新建函數框圖中輸入表達式確定后，得到函數f(x)=x2-2x+3及其圖象.

第二步：制作變區間及其上的函數圖像.在x軸上取點A，度量A的橫坐標t，計算t+1;繪制點B(t+1，0)，構造線段AB，在線段AB上取一點P，度量其橫坐標值記為x，計算f(x)，繪制點M(x，f(x));選擇點P、M，【構造】|【軌跡】，得y=f(x)=x2-2x+3(x∈［t，t+1］)的圖象.

第三步：美化界面.作函數圖象的對稱軸(虛線)，設PM為虛線(中細)，過點M作y軸垂線段(虛線)，把點A、B、P、M的標簽改為t、t+1、x、f(x)，如圖1. 

圖1

第四步：求函數的最值.如圖1，拖動點t，觀察函數的單調性，從而得:當t∈(-∞，0］時，函數的最大值為f(t)，最小值為f(t+1).當t∈(0，12］時，函數的最大值為f(t)，最小值為f(1).當t∈(12，1］時，函數的最大值為f(t+1)，最小值為f(1).當t∈(1，+∞)時，函數的最大值為f(t+1)，最小值為f(t).

二、軸變區間定的二次函數最值的課件制作案例

【例2】 求二次函數f(x)=x2-2tx+3在區間［1，2］上的最值.

第一步：繪制函數f(x)=x2-2tx+3的圖象.新建畫板，【繪圖】|【定義坐標系】，在x軸上取一點T并度量其橫坐標t，繪制新函數f(x)=x2-2tx+3，拖動點T，可觀察函數f(x)=x2-2tx+3的圖象變化情況.

第二步：繪制函數f(x)=x2-2tx+3，x∈［1，2］的圖象.繪制點A(1，0)，B(2，0) ，構造線段AB， 在AB上取點H；選擇點H及x軸，【構造】|【垂線】，再選擇函數f(x)=x2-2tx+3的圖象，【構造】|【交點】得交點M ，選擇H、M，【構造】|【軌跡】得函數f(x)=x2-2tx+3，x∈［1，2］的圖象.

第三步：美化界面.過點T作x軸垂線(虛線)，過點M分別作y軸垂線段(虛線)，點T、H、M的標簽分別改為t、x、f(x)，如圖2.

圖2

第四步：求函數的最值.拖動點t，觀察函數的單調性，可得:當t∈(-∞，1］時，函數的最大值為f(2)，最小值為f(1);當t∈(1，32］時，函數的最大值為f(2)，最小值為f(t);當t∈(32，2］時，函數的最大值為f(1)，最小值為f(2);當t∈(2，+∞）時，函數的最大值為f(1)，最小值為f(2).

三、軸變區間變的二次函數最值的課件制作案例

【例3】 求二次函數f(x)=x2-2tx+3在區間［1，t+2］上的最值.

第一步: 繪制區間［1，t+2］上函數f(x)=x2-2tx+3的圖象.新建畫板，繪制點 A(-1，0)，選擇點A及單位點E，構造射線AE，在射線AE上取一點B，度量其橫坐標記為t，計算t+2，繪制點C(t+2，0)，構造線段CE，在CE上取點D，度量點D的橫坐標記為x，計算f(x)=x2-2tx+3，繪制點P(x，f(x))，選擇點D、P，【構造】|【軌跡】，得［1，t+2］上函數f(x)=x2-2tx+3的圖象.

第二步：美化界面.過點B作x軸的垂線(虛線)，過點P分別作x、y軸垂線(虛線)，點B、D、P的標簽分別改為t、x、f(x)，如圖3.

圖3

第三步：求函數的最值.拖動點t，根據函數的單調性，可得函數的最大、小值:當t∈［-1，1］時，最大值為f(t+2)，最小值為f(1);當t∈(1，3）時，最大值為f(t+2)最小值為f(t);當t∈(3，+∞)時，最大值為f(1)，最小值為f(t).

四、幾點注意

利用動態的圖象要關注幾點:首先明確參數的范圍.要準確地作出目標函數的圖象必須明確其定義區間， 因而就必須明確參數的范圍，這樣才能作出控制點及函數圖象，如例1、3中的射線、線段;其次要抓住拋物線的對稱軸及頂點.單調區間是確定最大、小值的關鍵，而二次函數的單調區間的劃分取決于頂點的橫坐標，所以制作時應作出拋物線的對稱軸及頂點;再次要比較端點處的函數值.拖動控制點觀察目標函數圖象時， 注意區間端點處函數值與曲線頂點縱坐標的大小關系，以便劃分區間. 

［基金項目:廣西教育科學“十一五”規劃重點課題(桂教科學［2008］2號).］

(責任編輯 金 鈴）