不等式恒成立問題的三類常見解法

不等式恒成立問題主要可分成兩類：第一類為不含參數的不等式恒成立問題；第二類為含有1個（或多個）參數的不等式恒成立問題.對于第一類問題，實際上就是證明這個不等式，本文不再贅述；對于第二類，其基本解題思想是將問題轉化為函數的最值問題，常見的基本解法有以下三種.

一、參數分離，間接求最值

【例1】 （2008，江蘇）設函數f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若對于任意x∈［-1，1］，均有f(x)≥0成立，則實數a的值為 .

解：（1）若x=0，則a∈R.（2）若x∈(0，1］，a≥1x2-1x3，令g(x)=1x2-1x3，

則g′(x)=3(1-2x)x4，即g(x)在x∈(0，12］上單調遞增，在x∈［12，1］上單調遞減，所以g(x)max=g(12)=4

，所以a≥4.（3）若x∈［-1，0），a≤1x2-1x3，

由（2）得g(x)在［-1，0）上單調遞增，所以g(x)min=g(-1)=4，所以a≤4.綜上，a=4.

二、參數不分離，直接求最值

【例2】 (2007，遼寧) 已知f(x)=x3-9x2+24x(x∈R)，若對于任意m∈［-26，6］，恒有f(x)≥x3-mx-11成立，試求實數x的取值范圍.

解：由題，f(x)-(x3-mx-11)≥0對任意的m∈［-26，6］恒成立，

即xm+(-9x2+24x+11)≥0對m∈［-26，6］恒成立，不妨令g(m)=xm+(-9x2+24x+11)，

則任意m∈［-26，6］，g(m)≥0g(m)min≥0

g(6)≥0，

g(-26)≥0

x∈［-13，1］

.

本題注意點有兩處：（1）對自變量和參數的辨別.筆者認為在實際操作中，一般對“哪個字母”恒成立，“哪個字母”即為自變量；求“哪個字母”的范圍，“哪個字母”即為參數.

（2）對于參數，在本題中存在高次方，故不易參數分離，因此采用移項直接求關于m的一次函數（或常值函

數）的最小值.

【例3】 （2008，天津）已知函數f(x)=x+ax+b(a，b∈R)，若對于任意的a∈［12，2］，不等式f（x）≤10在［14，1］上恒成立，求b的取值范圍.

解：由函數f(x)圖像易得f(x)max=max｛f(14)，f(1)｝，故本題等價于對任意的a∈［12，2］，都有

f(14)≤10，f(1)≤10

恒成立，即b≤394-4a，b≤9-a

對任意的a∈［12，2］成立b≤74，b≤7

b≤74

.

在此題中，恒成立針對不同的自變量進行了多次嵌套，解決的手法是由內而外逐層分析：在內層，視“x”為自變量，采用直接求最值法；在外層，視“a”為自變量，采用參數分離間接求最值法.

【例4】 已知二次函數f(x)=x2+ax+1-a，若x∈［-2，2］，則f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

解：由f(x)=x2+ax+1-a≥0對任意x∈［-2，2］恒成立，故f(0)=1-a≥0，即a≤1.

又f(x)=(x+a2)2-a24-a+1，對稱軸x=-a2∈［-12，+∞），故

（1）對稱軸x=-a2∈［-12，2］，即a∈［-4，1］，ymin=f(-a2)≥0a∈［-2-22，-2+22］，

即a∈［-4，-2+22］；

（2）對稱軸x=-a2∈(2，+∞)即，

即a∈(-∞，-４)，ymin=f(2)≥0a∈［-5，+∞)，即a∈［-5，-4).

綜上所述，a∈［-5，-2+22］.

無論是參數分離還是參數不分離，都不可避免地需要分類討論，那么就盡可能減少分類討論的步驟.這里借助賦值法得到f(0)=1-a≥0，即a≤1，從而縮小了參數a的范圍，減少了直接求最值所需討論的次數.

三、數形結合

【例5】 （2009，上海）已知0≤x≤1時，不等式sinπx2≥kx恒成立，則實數k的取值范圍是 .

圖1

解：由sinπ2≥kx對0≤x≤1恒成立，即

函數f(x)=sinπx2的圖像在x∈［0，1］這一部分始終在

函數g(x)=kx的上方（如圖1所示），故k≤1.

【例6】 （2008，浙江）若a＞0，b＞0，且當

x≥0，y≥0，x+y≤1

時，恒有ax+by≤1，則以a、b為坐標的點P(a，b)所形成的平面區域的面積為 .

圖2

解：令S1為

x≥0，y≥0，x+y≤1

所表示的區域；令S2為ax+by≤1

所表示的區域，由題，當

x≥0，y≥0，x+y≤1.

時，恒有ax+by≤1，

故易得1a≥1，1b≥1

0＜a≤1，0＜b≤1，

故P(a，b)所形成的平面區域的面積為1.

上述兩例均是從幾何角度來處理不等式恒成立問題.一般而言，f(x)≥g(x)對x∈［a，b］恒成立可以從圖形的角度理解為y=f(x)的圖像在x∈［a，b］部分始終在y=g(x)的上方.

含有參數的不等式恒成立問題是與函數最值相關的重要問題，解題中要注意方法的靈活運用，對于無須分類討論便可實現參數分離的，應首選“參數分離”，除此之外，直接求最值以及數形結合也是不錯的選擇.

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參考文獻

［1］謝廣喜. 與參變元、主變元有關的幾個問題的討論［J］.中學數學教學參考（上旬），2009(1-2) .

［2］張勇赴.“構造函數法”求解不等式恒成立問題［J］.中學數學教學參考（上旬），2009( 6) .

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(責任編輯 金 鈴）