山重水復泥濘路,柳暗花明見新村

一、背景

高三復習二項式定理內容時，在資料中選了這樣一道題：求（1+x+1x2）10的展開式中的常數項.課堂中筆者采用常規的方法套用二項展開式 （1+x+1x2）10=C010(1+x)10+C110(1+x)91x2+C210(1+x)81x4+C310(1+x)71x6+C410(1+x)61x8+…，或原式變為(x3+x2+1)10x20再展開，其過程要用到兩次展開.機械地套用使問題與方法沒了生機.教師費勁，學生也傷神，吃力不討好.再者一道小問題花費過多的時間有些不夠“經濟”，很多學生也會失去耐性.小結時筆者補充了一句：課后同學們再想想這道題有沒有更簡捷的辦法.這句話使我課后又仔仔細細地琢磨了一番（以往給學生教成死的東西，教師與學生機械套用.耽誤時間不說，還貽誤學生）.

二、認識教材，理解教材，用好教材

二項式定理是人教版全日制普通高級中學教科書《數學》(必修)第二冊(下B)中的基礎知識之一，是繼排列組合知識之后的教學內容.學習時要明確教材內容，回歸本原，認清實質.既要實現與已學知識的“無縫對接”，即連續性，又要體現教材在內容安排上的連貫性，也使知識的獲得與技能的形成水到渠成，自然和諧.

從特殊到一般是人們認識事物并獲取知識（或經驗）的一般認知規律.在二項式定理的學習過程中，教材由（a+b）2、(a+b)3和(a+b)4的展開式中項的系數與次數的變化規律推廣到（a+b）n的展開式.在教學中如何使用好這一具體而樸素的素材是突破教學難點的關鍵因素，那就要追根溯源，返璞歸真，找準知識間的銜接點，抓住生長點，理清脈絡，領悟真諦，把握本質，真正做到結構形式與內容實質的完美統一.

1.由簡單樸素提升認識，從降低難度理解本質

二項式定理是乘法公式(完全平方公式)的推廣，是計數原理與排列組合概念的一個具體應用.現以(a+b)4為載體，以整式乘法為依托，運用計數原理與排列組合知識來考察(a+b)n展開式的發生發展過程，以期達到認識教材、理解教材和用好教材的目的.

(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=aaaa+(aaab+aaba+abaa+baaa)+(aabb+abab+abba+baba+baab+bbaa)+(abbb+babb+bbab+bbba)+bbbb=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

由(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)來理解展開式中各項的含義：a4(或b4)表示從4個(a+b)中各取1個a(或b)相乘，有C44a4 (或C44b4)；4a3b(或4ab3)表示從4個(a+b)的任意3個中各取1個a(或b)和剩余1個(a+b)中取b(或a)相乘，有C34a3C11b1(或C34b3C11a1)；6a2b2表示從4個(a+b)的任意2個中各取1個a和剩余2個(a+b)中各取1個b相乘，有C24a2C22b2.

2．歸納推廣

一般地，對于(a+b)n展開式中的任意一項，即通項（第r+1項）：Tr+1=Crnan-rbr(n∈N*，r∈

N，n≥r)表示從n個(a+b)的任意r個(a+b)中各取1個b和剩余n-r個(a+b)中各取1個a相乘，即

Tr+1=CrnbrCn-rn-ran-r=Cn-rnan-rCrrbr=Cn-rnan-rbr=Crnan-rbr(n∈N*，r∈N，n≥r)

3． 再推廣

二項式定理是完全平方公式在次數上的推廣，再從項數上進行推廣，考察展開式中的任意項，

(a+b+c)n展開式的任意項（通項）為：

CrnarCsn-rbscn-r-s(n，s∈N*，r∈N，n≥r+s)

……

(a1+a2…+am)n展開式的任意項（通項）為：

Cr1n

ar11

Cr2n-r1

ar22

Cr3n-r1-r2

ar33

……

Crn-1n-r1-r2-…-rn-2

arn-1m-1

an-(r1+r2+…+rn-1)m

(m，n∈N*，m≥2，ri(i=1，2，…n-1)∈N)

三、 應用實踐，形成技能

【例1】 （教材第121頁的例4）(1)求(1+2x)7的展開式的第4項的系數；

（2）求(x-1x)9的展開式中x3的系數.

解析：(1)展開式第4項中因式(數)“1”與“2x”的次數分別為4和3，即C4714(2x)3=280x3，所以展開式中第4項的系數為280.

（2）由題意難確定展開式中的所求項中 “x”與“-1x”的次數，不妨設該項為Cr9xr(-1x)9-r，Cr9xr(-1x)9-r =Cr9(-1)9-rx2r-9，則2r-9=3，r=6，所以x3的系數為-84.

點評：在解決(a+b)n展開式中的指定項或指定項的系數問題時，只需確定該項中a、b的次數即可.若不確定，可設a(或b)的次數為r，則b(或a)的次數為n-r，再由題意求出r，可求解問題.

【例2】 (配套練習冊第104頁的例2)求(1+2x-3x2)5展開式中的系數.

點評：方法一和方法三實質一樣，前者由x5直接確定，后者借助參變量間接確定.由此很容易解答本文開頭的問題.

上兩例是運用二項式定理通項的典型題型，其解答是在理解通項基礎上的正確應用，并非機械套用課本中的通項公式.而在原教材和配套練習的例題中都存在生搬硬套通項公式之嫌，特別是例2在原配套練習中的解答與點評更能說明這一點.

四、 幾點思考

二項式定理的本質是整式乘法，是完全平方公式在次數上的一種推廣，其結果的表示形式與項的先后順序并沒有本質上的聯系.而我們往往更關注其結構形式的規律性 (包括通項公式的結構)，因此在學習二項式定理時在尊重教材(理解其有關意圖)的基礎上要把握好教材，理解教材內容實質，并運用好教材.

學習二項式定理的內容不僅僅是讓學生對基礎知識的掌握，更重要的是以此為有效載體和主要契機（當然三項以上和的問題很少出現，但其思維的方式方法具有積極的意義），來促使學生形成科學的思維方式和提升學生的思維能力.在定理的形成過程中，把整式乘法、計數原理和排列組合知識進行有機整合，不但使知識的形成合理和諧，而且從思想方法上，由特殊到一般的歸納概括，再由一般到特殊的具體運用過程是水到渠成的.是數學地認識，數學地思維，數學地表達過程，其無不滲透和體現著數學的思維價值.

(責任編輯 黃桂堅）