例說中學(xué)數(shù)學(xué)極限問題解題常用十法

中學(xué)數(shù)學(xué)解決極限問題的基本思路是先通過恒等變形化歸為極限的基本問題，然后用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行處理，其恒等變形是解決極限問題的最關(guān)鍵一步.本文將結(jié)合實(shí)例介紹解決極限問題常用恒等變形的十種方法.

一、利用約分零因子法

【例1】 求極限limx→2（4x2-4-1x-2 ）

解析：分母有零因式的，首先分子、分母約去零因子，化歸為連續(xù)函數(shù)的極限問題去求解.

limx→2（4x2-4-1x-2 ）=limx→2（2-xx2-4 ）=limx→2-1x+2 =-14 .

二、 利用分子、分母同除以相同因子法

【例2】 求極限limx→∞x3-x23x3+1 .

解析：∞∞ 型且分子、分母都是以多項(xiàng)式給出的極限，可以通過分子、分母同除以相同因子再求極限.

limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x 3+1x3 =13 .

三、 利用分子或分母有理化法

【例3】 求極限limx→π（x-π）cosxx-π .

解析：求含根式的極限，其主要方法為分子或分母有理化化去無理式，再求極限.

limx→π（x-π）cosxx-π =limx→π（x+π）cosx=（π+π）cosπ=-2π.

四、利用數(shù)列公式求和法

【例4】 求極限limx→∞ （1+13+132+…+13n ）.

解析：對于數(shù)列的和、差或積求極限，若項(xiàng)數(shù)有限時(shí)可以直接利用極限的四則運(yùn)算求極限，若項(xiàng)數(shù)為無限項(xiàng)時(shí)，應(yīng)先把無限項(xiàng)化成有限項(xiàng)，如先求出前n項(xiàng)的和（差）或積再求極限.

limx→∞（1+13 +132 +…+13n ）=limx→∞[1-（13 ）n+1

1-13 ]=32 .

五、利用組合公式法

【例5】 求極限limx→∞C02n+C22n+C42n+…+C2n2n1-4n.

解析： ∵C02n+C22n+C42n+…+C2n2n=12 ×4n，

∴limx→∞C02n+C22n+C42n+…+C2n2n1-4n =limx→∞12 ×4n

1-4n

=limx→∞12

（14 ）n-1 =-12 .

六、利用函數(shù)連續(xù)性法

【例6】 求極限limx→0x3-sinx+lncosxcosx+1 .

解析：初等函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)每一點(diǎn)均連續(xù).

如果函數(shù)f（x）、g（x）在某一點(diǎn)x=x0處連續(xù)，那么函數(shù)f（x）±g（x）、f（x）·g（x）、f（x）g（x）（g（x）≠0） 在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，則在點(diǎn)x0處的極限等于x0處的函數(shù)值.

因?yàn)閤=0是函數(shù)f（x）=x3-sinx+lncosxcosx+1 的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以

limx→0x3-sinx+lncosxcosx+1 =03-sin0+lncos0cos0+1

=0.

七、利用配湊法

【例7】 已知limx→0xf（3x）=2 ，求極限 limx→0f（2x）x.

解析：把問題結(jié)合已知條件，從整體考慮，通過恰當(dāng)?shù)钠礈悺⑴錅悾箚栴}的解決能用已知條件，從而達(dá)到比較容易解決的目的.

因?yàn)楠玪imx→0xf（3x）=2 ，所以limx→03xf（3x）=6 ，

則limx→02xf（2x）=6 ，即limx→0f（2x）2x=16 ，

所以limx→0f（2x）x=13.

八、利用換元法

【例8】 求極限limx→0101+x-1x.

解析：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，直接從101+x-1x 的分子、分母中約去x比較困難，而101+x-1x 中當(dāng)x→0時(shí)也趨近于0，因而可以考慮整體換元法，即設(shè)y=101+x，

則x=y10-1，所以當(dāng)x→0時(shí)，等價(jià)于y→1.

解析：limx→0101+x-1x=limy→1y-1y10-1 =

limy→11y9+y8+…+y+1 =110.

九、利用討論法

【例9】 求極限 limn→∞ an1+an （a為常數(shù)且a>0）.

解析：當(dāng)數(shù)列中含有不確定的參數(shù)時(shí)，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論求解，其依據(jù)是：

limn→∞ qn=0（|q|<1）；不存在（|q|>1或q=-1）；1（q=1）.

（1）當(dāng)0

limn→∞ anlimn→∞（1+an） =01+0=0；

（2）當(dāng)a>1時(shí)，limn→∞ an1+an =limn→∞ 11an+1 =1；

（3）當(dāng)a=1時(shí)，limn→∞ an1+an =limn→∞ 11+1 =12.

十、利用特殊觀察法

【例10】 求極限（1） limn→∞ enn！= ；

（2）limx→0（xsin1x ）= .

解析：（1）利用n→∞時(shí)，n！變化比en變多得多，即n！的變化速率比en的變化速率快得多，故enn！ 相當(dāng)于1∞=0 ，所以 limn→∞ enn！=0.（2）利用三角函數(shù)性質(zhì)-1≤sin1x ≤1，得-|x|≤xsin1x≤|x| ，又因?yàn)楠玪imx→0（-|x|）=limx→0|x|=0，所以limx→0（xsin1x ）=0.

求極限問題時(shí)恒等變形方法靈活多樣，要對題目進(jìn)行全面分析，合理、恰當(dāng)?shù)剡x擇方法，整體思考，往往可以化繁為簡，在解題中起到事半功倍的效果.

（責(zé)任編輯 金 鈴）