利用導數解決函數的單調性問題

函數是高中數學的主線，是高考每年重點考查的內容之一.研究函數最有力的工具是導數，利用導數解決的函數問題主要有：（1）利用導數研究函數單調性、極值與最值問題；（2）以函數為載體的實際應用題；（3）函數、導數與不等式相結合.而第（2）種和第（3）種題型都可以轉化為第（1）種題型.因此，最關鍵的是解決第一種題型：利用導數研究函數的單調性.

熱點題型一：直接利用導數研究函數的單調性

【例1】 設函數f（x）=ln（2x+3）+x2，求f（x）的單調區間.

解：f（x）的定義域為（-32 ，+∞），f′（x）=22x+3 +2x=4x2+6x+22x+3 =2（2x+1）（x+1）2x+3.

令f′（x）>0，解得-32-12 ；

令f′（x）<0，解得-1

函數f（x）的單調遞增區間為（-32，-1） ，（-12，+∞） ；單調遞減區為（-1，-12 ）.

思維拓展：已知函數f（x）=ln（2x+3）+x2，求f（x）在[-34，14 ]上的極值與最值.

略解：函數f（x）極小值為f（-12 ）=ln2+14 ，沒有極大值，

最小值為f（-12 ）=ln2+14 ，最大值為f（14）=ln72+116.

熱點題型二：利用導數求含參函數的單調性

【例2】 已知函數f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，判斷函數f（x）的單調性.

解析：f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，∴f′（x）=a-1x=ax-1x ，令f′（x）=0，則x=1a .

（1）當1a≤0 ，即a≤0時，f（x）在區間（0，e]上為減函數；

（2）當0<1a1e 時，f（x）在區間（0，1a） 上為減函數，在區間

（1a，e]上為增函數；

（3）當1a≥e，即0

綜上，當a≤1e 時，f（x）在區間（0，e]上為減函數；

當a>1e 時，f（x）在區間（0，1a]上為減函數，在區間（1a，e]上為增函數.

熱點題型三：已知函數的單調性，求參數的范圍

【例3】 已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），若f（x）=a·b在區間（-1，1）上是增函數，求r的取值范圍.

解析：f（x）=x2（1-x）+t（1+x）=-x3+x2+tx+t，則f′（x）=-3x2+2x+t.

若函數f（x）=a·b在區間（-1，1）上是增函數，則f′（x）≥0在區間（-1，1）上恒成立，即t≥3x2-2x在區間（-1，1）上恒成立.

記g（x）=3x2-2x，則t≥g（x）在區間（-1，1）上恒成立，等價于t≥g（x）max成立.

由于二次函數g（x）=3x2-2x的對稱軸是x=13 ，所以g（x）在區間[-1，1]上的最大值為g（-1）=5，因此t≥5.

思維拓展1：已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），若f（x）=a·b在區間（-1，1）上是單調函數，求t的取值范圍.

解析：f（x）=a·b在區間（-1，1）上是單調函數，則f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立.

由f′（x）≥0t≥5；

f′（x）≤0恒成立，即t≤3x2-2x在（-1，1）上恒成立，

令g（x）=3x2-2x，則g（x）min=g（13 ）=-13，∴t≤-13 .

綜上，t≤-13 或t≥5.

點評：已知函數在某區間上單調，即f′（0）≥0或f′（x）≤0恒成立，其中f′（x）不恒為0.

思維拓展2：已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），若f（x）=a·b在R上存在單調遞增區間，求t的取值范圍.

解析：f（x）=a·b在R上存在單調遞增區間，

轉化為f′（x）>0在R上有解，即-3x2+2x+t>0在R上有解，

即t>3x2-2x有解.

令g（x）=3x2-2x，則t>g（x）min=g（13 ）=-13 .

點評：已知函數在某區間上的單調性，求參數范圍時，

若函數f（x）在[a，b]上為增函數，則f′（x）≥0恒成立；若函數f（x）在[a，b]上為減函數，則f′（x）≤0恒成立.

其中f′（x）不恒為0.

（責任編輯 金 鈴）