一道課本例題引發的再探究

人教版《全日制普通高級中學教科書（選修4-4）數學》第35頁有這樣一道例題：

【例】 O為直角坐標系中的坐標原點，A、B是拋物線y2=2px（p>0）上異于頂點的兩動點且OA⊥OB，OM⊥AB并與AB相交于點M，求點M的軌跡方程.

以此題為背景，可以得出一系列與拋物線或橢圓有關的內接三角形或四邊形的面積或周長的最值問題.

結論1：A、B是拋物線y2=2px（p>0）上的兩點，且OA⊥OB，則

（1）S△ABC≥4p2； （2） OA2+OB2≥16p2 ；（3）1OA2+1OB2≥14p2 .

分析： 設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+n，

聯立拋物線的方程得y2-2pmy-4p2=0，

故y1y2=-4p2，y1+y2=2pm，易求得直線AB過定點M（2p，0），

故 S△AOB=S△AOM+S△BOM=p（|y1|+|y2|）≥2p|y1y2|=4p2，

當且僅當|y1|=|y2|=2p時，等號成立.而AB=1+m2（y1+y2）2-2y1y2，

故OA2+OB2=[2p（1+m2）（1+4m2）]2≥（2p×2）2=16p2.

根據S△OAB的計算易知|OA||OB|=2p（y1-y2），

故1OA2+1OB2 =OA2+OB2OA2·OB2 =（1+m2）|y1-y2|24p2（y1-y2）2=1+m24p2≥14p2.當且僅當m=0時等號成立，即直線AB與x軸垂直.

結論2：設O是橢圓x2a2+y2b2=1 的中心，A，B是橢圓上兩點，且OA⊥OB，H是從O點向AB所作的垂線，則

（1）S△OAB≥a2b2a2+b2 ； （2）1OA2 +1OB2 =1a2 +1b2

.

證明：設OH=h，OA=r1，OB=r2，OB與x軸正方向的夾角為θ，易知OA與x軸正方向的夾角為θ-π2 ，則A點的坐標為（x1，y1）=（r1cos（θ-π2），r1sin（θ-π2））

=（r1sinθ，-r1cosθ），

B點的坐標為（x2，y2）=（r2cosθ，r2sinθ），

故r21sin2θa2 +r21cos2θb2=1，r22cos2θa2 +r22sin2θb2=1，故1r21+1r22 =sin2θ+cos2θa2

+cos2θ+sin2θb2

=1a2 +1b2

，

即1OA2 +1OB2 =1a2+1b2

=1r21 +1r22 =r21+r22r21r22 ≥r21+r22（r21+r222 ）2 =4r21+r22 .

故AB2=r21+r22≥41a2 +1b2

=4a2b2a2+b2 .

記h是從O點到AB的距離，

∵OA·OB=AB·h，∴h=r1r2r21+r22=11r21+

1r22

=11a2+1b2

，

故S△OAB=12 |AB|·h≥12 2aba2+b2 ·11a2+1b2 =a2b2a2+b2 .

上述結論2中結果1可以看作1OA·OA+1OB·OB=1a2 +1b2

，若將點O的位置改變，我們還可以得到類似的結果嗎？答案是肯定的！

結論3：設O是橢圓x2a2+y2b2=1 的中心，A，B，C，D是橢圓上不同的四點， AB⊥CD于點P，則1PA·PB+1PC·PD 為定值.

證明：易求得PA·PB=PC·PD=|b2x20+a2y20-a2b2b2cos2θ+a2sin2θ |，

設直線AB的傾斜角為α，則PA·PB=|b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α |，注意到

CD的傾斜角為π2 +α（或α-π2 ），

故PC·PD=|b2x20+a2y20-a2b2b2sin2α+a2cos2α |

，故1PA·PB+1PC·PD

=b2+a2b2x20+a2y20-a2b2為定值.

結論2與橢圓的內接三角形在滿足一定條件下的面積的最值問題有關，若將橢圓內接三角形換成內接四邊形，其面積也會有最值嗎？答案是肯定的！

結論4：四邊形ABCD是橢圓x2a2+y2b2=1 的一個內接長方形，則

（1）S矩形ABCD≤2ab； （2）矩形ABCD的周長C矩形ABCD≤2a2+b2.

證明：設（x0，y0）是第一象限中橢圓與內接長方形ABCD的內接點，該矩形的橫寬為2x0，縱高為2y0，則

S矩形ABCD=2x0·2y0=4x0y0，C矩形ABCD=4（x0+y0），

所以0≤（x0a-y0b

）2=x20a2 -2x0y0ab+y20b2 =1-2x0y0ab

，

即2x0y0ab≤1，ab≥2x0y0，2ab≥4x0y0，故S矩形ABCD=4x0y0≤2ab.

令x0=asinα，y0=bcosα，則

C=4（x0+y0）=4（asinα+bcosα）=4a2+b2sin（α+φ）≤4a2+b2.

（責任編輯 金 鈴）