2012年高考江蘇卷第19題的漂亮解答

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2 =1（a>b>0）

的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32 ）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（i）若AF1-BF2=62 ，求直線AF1的斜率；

（ii）求證：PF1+PF2是定值.

考點：橢圓的性質，直線方程，兩點間的距離公式.

分析：

（1）利用點（1，e）和（e，32 ）都在橢圓上，易得橢圓的方程x22+y2=1 .

（2）由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，

∴設AF1、BF2的方程分別為my=x+1，my=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.∴x212+y21=1，my1=x1+1

（m2+2）y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2

.

∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2=m2+1·m+2m2+2m2+2 =2（m2+1）+mm2+1m2+1

.①

同理，BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2 .②

（i）由①②得，AF1-BF2=2mm2+1m2+2 .

解2mm2+1m2+2 =62 得m2=2.

∵m>0，∴m=2.

∴直線AF1的斜率為1m=22 .

（ⅱ）∵AF1∥BF2，

∴PBPF1=BF2AF1 ，即PBPF1 +1=BFAF1+1PB+PF1PF1 =BF2+AF1AF1 .

∴PF1=AF1AF1+BF2·BF1 .由點B在橢圓上知，BF1+BF2=22，∴PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2） . 同理，PF2=BF2AF1+BF2（22-

AF1） .

∴PF1+PF2=AF1AF1+BF2 （22-BF2）+BF2AF1+BF2 （22-AF1）=22-2AF1·BF2AF1+BF2 .

由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2 ，AF1·BF2=m2+1m2+2 ，

∴PF1+PF2=22-22 =322

.∴PF1+PF2是定值.

以上解法計算量大，對運算的能力要求高，學生很難做對.

分析：如圖1，考慮到橢圓的對稱性，連接BO交橢圓于點C，連接CF1，則BF2與CF1關于點O成中心對稱，BF2與CF1平行且相等.考慮到線段是經過橢圓的焦點，改用極坐標求解.

解：（1）易知橢圓的離心率e=22 ，橢圓的方程是x22+y2=1 .

（2）以F1為極點，F1O為極軸建立極坐標系.因為橢圓的離心率e=22 ，焦點到準線的距離p=1，所以橢圓的極坐標方程是ρ=ep1-ecosθ =12-cosθ .

（i）由橢圓的對稱性可知，BF2=CF1，

BF2∥CF1，又AF1∥BF2故A，F1，C三點共線.設直線AF1的傾斜角為θ，則AF1-BF2=12-cosθ-12+cosθ=2cosθ2-cos2θ=62，

解得cosθ=63，sinθ=33，故直線的斜率k=tanθ=22.

（ii）設AF1=m，BF2=CF1=n，PF1=x，PF2=y，PA=s，PB=t，由AF1∥BF2得nm=tx=ys

，解得t=nxm，s=myn.由橢圓的定義得m+s+y=22，n+t+x=22，

解得x=22m-mnm+n，y=22n-mnm+n.又mm+n=

（責任編輯 金 鈴）