在復習中培養學生的思維能力

一、知識梳理，培養思維的概括性

復習課的目的是通過反芻、消化、鞏固加深對所學知識的理解與記憶，彌補過去學習過程中的知識缺漏.因此，知識的梳理顯得尤為重要，特別是對于培養學生思維的概括性有著非常特殊的功效.

1.一元二次方程的定義

例如，判斷下列方程是否為一元二次方程？

（1）x（x-1）x2；（2）x2+3x+4=0；（3）x（x-1）=5.

解： （1）是一元一次方程；（2）是分式方程；（3）是一元二次方程.

2.一元二次方程的解法

（1）直接平方法

例如，解方程（x+3）2=4.

解：直接開平方得x+3=±2

∴x=±2-3，

即x1=2-3=-1，x2=-2-3=-5.

（2）配方法

例如，解方程x2-4x+1=0.

解：配方得x2-4x+22=-1+22，

∵ （x-2）2=3，∴x-2=±3 ∴x1=3+2，x2=-3+2.

（3）公式法

例如，解方程x2-4x+1=0.

解：∵Δ=（-4）2-4×1×1=12，

∴ x=-b±b2-4ac2a=4±232，

∴ x1=2+3，x2=2-3.

（4）因式分解法

例如，解方程x2-2x=0.

解：提公因式得x（x-2）=0，∴x1=0，x2=2.

3.一元二次方程根的判別式

（1）當Δ>0時方程有兩個不相等的實數根；

（2）當Δ=0時方程有兩個相等的實數根；

（3）當Δ<0時方程沒有實數根；

（4）當Δ≥0時方程有實數根.

4.一元二次方程根與系數的關系

例如，已知方程x2-4x+1=0，求x1+x2，x1x2的值.

解：x1+x2=-ba=--41=4，x1x2=ca=11=1.

二、設置陷阱，培養思維的周密性

在教學中常常發現，不少學生考慮問題不是丟三拉四，就是不全面，或者不深入.因此，教師在教學中注意設置一些有陷阱的問題，這樣既能提高學生分析問題和解決問題的能力，又能培養學生嚴密的思維能力.

例如，若關于x的方程（m-3）x|m|-1+4x+5=0為一元二次方程，求m的值，并求x21+x22的值.

解：依題意可得

|m|-1=2， ①m-3≠0. ②

解得m=-3，

代入原方程得

6x2-4x-5=0.

此時x1+x2=-ba=--46=23，

x1x2=ca=-56=-56.

∴x21+x22=x21+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2=（23）2-2×（-56）=199.

又如，若關于x的方程（2-a）xa2-2+5x+6=0為一元二次方程，求a的值，并判斷根的情況.

解：依題意可得a2-2=2， ①2-a≠0. ②

得a=-2，

代回原方程得

4x2+5x+6=0，

∵a=4，b=5，c=6，

∴Δ=b2-4ac=52-4×4×6=25-96<0，

∴方程無實數根.

三、一題多解，培養思維的發散性

在教學中，教師應引導學生從不同角度、不同方向去思考、去分析、去研究同一問題，從而得到多種不同的解題方法.這樣不僅有利于激發學生的學習熱情，還有利于培養學生思維的發散性.

例如，解方程3x（x-1）=2x-2.

解法一：（求根公式法）

原方程可化為3x2-5x+2=0.

∵a=3，b=-5，c=2，

∴Δ= b2-4ac=（-5）2-4×3×2=1.

∴x=-b±Δ2a=-（-5）±12×3=5±16.

∴ x1=5+16=1，x2=5-16=23.

解法二：（配方法）

原方程可化為3x2-5x=-2.

∵x2-5x3+（56）2=-23+（56）2，

∴（x-56 ）2=136 ，∴x-56=±16 .

∴x1=56+16 =1，x2=56 -16 =23.

解法三：（交叉相乘法）

原方程可化為3x2-5x+2=0，

（3x-2）（x-1）=0，

即3x-2=0

或x-1=0，∴x1=23，x2=1 .

解法四：（提公因式法）

原方程可化為3x（x-1）=2（x-1），

3x（x-1）-2（x-1）=0，

（x-1）（3x-2）=0，

x-1=0，

或3x-2=0，

x1=1，x2=23 .

四、靈活運用，培養思維的綜合性

要求所選取的例題能包括多個知識點，使得通過例題的教學，提高學生靈活運用知識分析問題與解決問題的能力，從而有效地培養學生思維的綜合性.

例如，關于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實根為x1，x2.（1）求k的取值范圍；（2）若x1+x2-x1x2<1，且k為整數，求k的值.

解：（1）∵a=1，b=2，c=k+1，

∴由Δ=b2-4ac=22-4·1·（k+1）=-4k.

由Δ≥0得-4k≥0，∴k≤0.

（2）∵x1+x2=-ba =-21= -2，

x1x2=ca =k+11 =k+1，

又∵x1+x2-x1x2<1，

∴-2-（k+1）<-1，即k>2.

又如，關于x的一元二次方程x2-3x-k=0有兩個不相等的實根.（1）求k的取值范圍；（2）選擇一個k的負整數值，并求出方程的解.

解：（1）Δ=b2-4ac=（-3）2-4·1·（-k）=9+4k.

由Δ>0得9+4k>0，∴k>-94 .

（2）取k=-2代入原方程得x-3x-（-2）=0，

即x2-3x+2=0，

（x-1）（x-2）=0，

∴x1=1，x2=2.

總之，只要我們數學教師認真學習新課標，深入鉆研新教材，運用新理念，并根據學生的心理特點和年齡特征以及認知規律，注意做好以上幾個方面的工作，就一定能夠實現培養學生思維能力的目的，從而達到數學教育教學雙豐收的目標.

（責任編輯 金 鈴）