例談數(shù)列復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容， 在高考中的地位十分突出，是高考必考的內(nèi)容之一，往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，數(shù)列部分的內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如果在數(shù)列這一章節(jié)的復(fù)習(xí)中，教師能注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，可使許多較復(fù)雜問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，從而達(dá)到優(yōu)化解題過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的.

一、函數(shù)與方程思想的滲透

數(shù)列的本質(zhì)是函數(shù)，數(shù)列是函數(shù)的繼續(xù)和延伸.如等差數(shù)列（公差不為零），它的通項(xiàng)公式是關(guān)于自然數(shù)n的一次函數(shù)，它的前n項(xiàng)和是關(guān)于自然數(shù)n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).在解決數(shù)列問題的過程中，如果能適時(shí)地運(yùn)用函數(shù)思想，往往會(huì)事半功倍.

【例1】 已知數(shù)列{an}，通項(xiàng)公式為an=n2+λn，若{an}為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解析：由題意知an+1>an對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，化簡(jiǎn)可得2n+1+λ>0恒成立，

因?yàn)?n+1的最小值為3，所以λ>-3.

另解：由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，聯(lián)想到二次函數(shù)y=x2+λx，對(duì)稱軸為x=-λ2，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在正整數(shù)集上為增函數(shù)，只要-λ2<32，所以λ>-3.

【例2】 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2=（Sk）2.

解析：本題可從數(shù)列的基本量a1和d入手，但運(yùn)算繁瑣.若從函數(shù)角度出發(fā)，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，則要簡(jiǎn)單得多.

設(shè)Sn=an2+bn（a，b為常數(shù)），則由題意可知ak4+bk2=（ak2+bk）2對(duì)一切正整數(shù)k恒成立.

化簡(jiǎn)得（a2-a）k2+2abk+（b2-b）=0 對(duì)一切正整數(shù)k恒成立.

則有a2-a=0，2ab=0，b2-b=0，

解得a=1，b=0，

或a=0，b=0，

或a=0，b=1.

則有Sn=n2或Sn=0或Sn=n，則有an=2n-1，或an=0，或an=1.

注：本題還可通過特殊化思想來解決，可取k=1，k=2時(shí)等式成立，求出an，然后檢驗(yàn)證明.

二、特殊到一般的思想的滲透

由于數(shù)列是關(guān)于自然數(shù)的函數(shù)，特殊到一般（歸納，猜想）的思想是數(shù)列中常用的數(shù)學(xué)思想.在解決數(shù)列問題時(shí)，我們往往可以取這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行研究，再歸納總結(jié)，導(dǎo)出一般結(jié)論，進(jìn)一步明確解題思路.

【例3】 （1）已知數(shù)列{cn}，其中cn=2n+3n，且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p；

（2）設(shè)數(shù)列{an}、{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.

解析：（1）由于數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列，則它的前三項(xiàng)必成等比數(shù)列，記dn={cn+1-pcn}，

則有d22=d1·d3. 又d1=13-5p，d2=35-13p，d3=97-35p，

所以（35-13p）2=（13-5p）（97-35p），

解得p=2或p=3.

檢驗(yàn)：當(dāng)p=2時(shí)，dn=3n；當(dāng)p=3時(shí)，dn=-2n（均滿足題意）.

（2）要證明{cn}不是等比數(shù)列，只須證明它的前三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可，即證c22≠c1·c3.設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q且p≠q.

事實(shí)上，c22=（a1p+b1q）2=a21p2+b21q2+2a1b1pq，

c1·c3=（a1+b1）·（a1p2+b1q2）=a21p2+b1q2+a1b1（p2+q2）.

由于p≠q，p2+q2>2pq，又a1、b1不為零，

因此c22≠c1·c3，

故{cn}不是等比數(shù)列.

注：本題如果采用等比數(shù)列的定義來解決，運(yùn)算量較大.注意到一個(gè)數(shù)列“前三項(xiàng)成等比數(shù)列”是“這個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列”的必要條件，從而聯(lián)想到通過它的前三項(xiàng)是否成等比關(guān)系來解決.

三、轉(zhuǎn)化思想的滲透

轉(zhuǎn)化（化歸）思想是數(shù)列中的一種重要思想.數(shù)列中常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系有：an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）

（將“和”與“項(xiàng)”進(jìn)行轉(zhuǎn)化）；將其他數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差（等比）數(shù)列來解決等.

【例4】

數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=2an+1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析：∵an+1=2an+1，

∴（an+1+1）=2（an+1）.

∴數(shù)列{an+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.

∴an+1=2n，

∴an=2n-1.

注：原數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式較困難，這時(shí)通過構(gòu)造，可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列輕松解決.

高中階段主要學(xué)習(xí)了等差、等比兩種特殊數(shù)列，很多數(shù)列問題可最終轉(zhuǎn)化為這兩類數(shù)列來解決.形如：an+1=pan+1（q≠0）型的遞推關(guān)系，均可采用上述方法進(jìn)行化歸.再比如用“錯(cuò)位相減”法求“等差數(shù)列乘等比數(shù)列”這一類數(shù)列和時(shí)，本質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.

【例5】 已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意自然數(shù)n滿足：Sn=p·n·an，且a1≠a2.

（1）求p的值；

（2）證明：{an}為等差數(shù)列.

解析：（1）用特殊到一般思想.S1=p·a1，即a1=p·a1

，

所以p=1或a1=0.

當(dāng)p=1時(shí)，又S2=2a2，即a1=a2（與條件矛盾，舍去）；

當(dāng)a1=0時(shí)，又S2=2pa2，因?yàn)閍2≠0，所以p=12.

（2）由（1）知Sn=12 nan ，①

所以Sn-1=12（n-1）an-1（n≥2）. ②

①-②得Sn-Sn-1=12nan-12（n-1）an-1，

即an=12nan-12（n-1）an-1，

即（n-2）an=（n-1）an-1（n≥2） ，③（將“和”與“項(xiàng)”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為“項(xiàng)”的關(guān)系）

對(duì)于③式的處理有多種思想方法.

方法1：由③得（n-3）an-1=（n-2）an-2 （n≥3）， ④

③-④得（n-2）an-（n-3）an-1=（n-1）an-1-（n-2）an-2，

即 （n-2）an+（n-2）an-2=（2n-4）an-1（n≥3），

即an+an-2=2an-1（n≥3），

所以{an}為等差數(shù)列.

注：將③式中相鄰兩項(xiàng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為相鄰三項(xiàng)的關(guān)系，利用等差中項(xiàng)法進(jìn)行證明.

方法2：由③式得，當(dāng)n≥3時(shí)，anan-1=n-1n-2，

所以a3a2=21；a4a3=32；…；an-1an-2=n-2n-3；anan-1=n-1n-2.

將各式相乘可得ana2=n-1，

所以an=（n-1）a2（n≥3）. ⑤

又a1，a2均符合⑤式，所以an=（n-1）a2，用定義可證得{an}為等差數(shù)列.

注：通過“累積”法求出數(shù)列通項(xiàng)公式，然后利用定義加以證明.

方法3：由③式得，當(dāng)n≥3時(shí)，ann-1=an-1n-2，

可得數(shù)列{ann-1}從第二項(xiàng)起為常數(shù)列，

所以n≥2時(shí)，ann-1=a2，

即an=（n-1）a2.（下同方法2）

注：此方法要求學(xué)生有一定的觀察能力，能把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)常數(shù)列來解決.

四、遞推思想的滲透

遞推公式是給出數(shù)列的一種常用方法，在很多數(shù)列問題中，往往給出數(shù)列的一種遞推關(guān)系，然后求通項(xiàng)公式.遞推公式的本質(zhì)是由一項(xiàng)（或更多的項(xiàng)）推出它的下一項(xiàng).

【例6】 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析：由于條件中的遞推關(guān)系較繁，可以先將這個(gè)遞推關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn).

因?yàn)閍n=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），

所以an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2（n≥3），

兩式相減得an-an-1=（n-1）an-1，

即an=nan-1（n≥3）.

所以當(dāng)n≥3時(shí)，

an=n·an-1=n·（n-1）·an-2=n·（n-1）·（n-2）·an-3

=n·（n-1）·（n-2）…3·a2.

因?yàn)閍2=a1=1，所以an=n·（n-1）·（n-2）…3=n！2（n≥3），

因?yàn)?a1不符合上式，a2符合上式，

所以an=1（n=1），n！2（n≥2）.

注：化簡(jiǎn)后的遞推式an=nan-1（n≥3）揭示了前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系，即知道了任一項(xiàng)都可求出它的后一項(xiàng).因此我們采用遞推的方法求出它的通項(xiàng)公式.

文中的例5也可用遞推思想求解，簡(jiǎn)解如下：

n≥2時(shí)，

an=2·an-1+1=2·（2·an-2+1）+1=22·an-2+2+1

=22·（2an-3+1）+2+1=23·an-3+22+2+1

=…=2n-1·a1+2n-2+2n-3+…+2+1=

2n-1+2n-2+…+1=2n-1.

數(shù)列中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想還有很多，這里就不一一舉例了.總之，在復(fù)習(xí)數(shù)列這一內(nèi)容時(shí)，教師不應(yīng)該僅僅教給學(xué)生幾個(gè)公式，應(yīng)注意思想方法的滲透和總結(jié)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)試能力.

（責(zé)任編輯 金 鈴）