試論高效課堂教學中的數學思想方法

高效課堂教學，就是教師能充分利用各種有效的手段，快節奏、高效率地把知識信息傳遞給學生的整體性活動過程，用盡可能少的時間獲取最大的教學效益的教學活動. 因此，教師在平時的數學課堂教學過程中，就應該有效地滲透各種數學思想方法，使不同層次的學生體會到數學的奧妙所在的同時又能領會到數學的真諦，進而有效地提高學生分析問題和解決問題的能力.

一、轉化思想

轉化是解決數學問題的一種重要的數學思想，也是分析問題和解決問題的重要的基本思想，就解題的本質而言，解題就意味著轉化，即是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“陌生”轉化為“熟悉”，把“抽象”轉化為“具體”，把“一般”轉化為“特殊”等等.

【例1】 在平面直角坐標系中，若點P（m-3，m+1）在第二象限，則m的取值范圍為（ ）.

A.-13 C.m<-1 D.m>-1

分析：看似一道平面直角坐標系下的問題，求解時卻要用不等式組來幫忙.根據第二象限內點的坐標特征，可得不等式組m-3<0，m+1>0，

解得-1

啟示：從上面的求解過程來看，根據題意選用不等式組實現了問題的有效轉化，這里不等式組也成為一種“工具”，這是同學們要體會的.其實，方程（組）、不等式（組）都是我們解題的重要工具.

二、數形結合思想

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，每個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.數形結合思想即是把代數、幾何知識相互轉化、相互利用的一種解題思想.平面直角坐標系就是研究數形結合的重要工具，而在一元一次不等式（組）中，用數軸表示不等式（組）的解集也是數形結合求解策略的具體體現.

【例2】 若不等式2x-m≤0的正整數解只有4個，則m的取值范圍是 .

分析：先求出不等式2x-m≤0的解集為x≤m2 ，

再結合數軸（如上圖）與條件知只有4個，可知

4≤m2 ≤5，即8≤m≤10.

啟示：本題直接求解難度較大，若將問題反映在數軸上，借助數軸加以分析，可使解題思路一目了然.這種數形結合的思想值得同學們重視.

三、分類討論思想

分類討論，又稱分情況討論，當一個數學問題在一定的條件下，其結論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類.將一個數學問題根據條件分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再對各種情況下得到的答案進行歸納綜合，這種研究問題的數學思想就是“分類討論思想”.這種思想在《相交線與平行線》、《三角形》、《平面直角坐標系》等章節中都有體現.

【例3】 現有2cm，4cm，5cm，8cm長的四根木棒，任意選取三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數為（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

分析：由“三角形的三邊關系”可知，如果三條線段中較短的兩條線段之和大于第三條線段的長，那么這三條線段一定能組成三角形，不需要再驗證另外兩種情況.因而本題可從選定最大邊入手.

①若以5cm為最長邊，則較短邊可選2cm，4cm；②若以8cm為最長邊，則較短邊可選4cm，5cm.共有兩個不同的三角形，選B.

啟示：在給出三條以上的線段，要判斷其中的三條能否組成三角形時，首先要把這些線段三條一組進行分組，分組時要按照某一規則或順序進行，這樣才能做到不重不漏.有了正確的分組，才有可能得出正確的結果.

四、整體思想

所謂整體思想，就是當我們遇到問題時，不著眼于問題的各個部分，而是有意識地放大考慮問題的視角，將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體局部的內在聯系來解決問題的數學思想.

【例4】 有甲、乙、丙三種商品，如果購甲3件、乙2件、丙1件共需315元錢；購甲1件、乙2件、丙3件共需285元錢，那么購甲、乙、丙三種商品各一件共需 元錢.

分析：設購甲、乙、丙三種商品各一件分別需x元、y元、z元，根據題意有

3x+2y+z=315，x+2y+3z=285，

把這兩個方程相加得4x+4y+4z=600，所以x+y+z=150.

啟示：這個問題雖然設了三個未知數，但求解時，采取了“加減”變形技巧后就實現了問題的求解，這種整體考慮的處理策略值得同學們深入體會.

五、數學建模思想

數學建模思想就是指能將實際問題抽象成數學問題，并能夠分析和解決問題的思想方法.事實上，能夠解決實際問題是學生學習數學知識、形成技能和發展能力的結果，也是對獲得知識、技能和能力的檢驗.

【例5】 星期天，小明和七名同學共8人去郊游，途中，他用20元錢去買飲料，商店只有可樂和奶茶.已知可樂2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元錢剛好用完.

（1）有幾種購買方式？每種方式可樂和奶茶各多少杯？

（2）每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時，有幾種購買方式？

分析：此題主要考查學生構造二元一次方程模型解決簡單實際問題的能力，以及求二元一次方程的非負整數解、解一元一次不等式等基本的代數計算及推理能力.

（1）根據條件“可樂2元一杯，奶茶3元一杯，20元錢剛好用完”可列出一個分別以可樂、奶茶杯數為未知數的二元一次方程.由這個二元一次方程的非負整數解的數目決定購買方式.（2）是在第（1）問中求滿足“每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯”的特殊解.特別注意的是條件“奶茶至少二杯”不是指“每人奶茶至少二杯”.

事實上，（1）設買可樂、奶茶分別為x杯、y杯，根據題意得

2x+3y=20（且x、y均為自然數），

所以x=20-3y2 ≥0，

解得y≤203 .

所以y=0，1，2，3，4，5，6.代入2x+3y=20，并檢驗得

x=10，y=0；

x=7，y=2；

x=4，y=4；

x=1，y=6.

所以有四種購買方式，每種方式可樂和奶茶的杯數分別為：10，0；7，2；4，4；1，6.

（2）根據題意，每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯，即x+y≥8且y≥2.

由（1）可知，有兩種購買方式：買可樂7杯，奶茶2杯，或買可樂4杯，奶茶4杯.

啟示：單獨的一個二元一次方程的解有無數個，即是不確定的，因此一個二元一次方程也是一個不定方程，但不定方程在某個指定范圍內的整數解是確定的.同學們還應從本例的第（1）問的解答過程中學習求解這種（二元）不定方程的方法.

總之，在數學教學中，教師要及時而又有效地滲透數學思想方法，這樣不僅對提高學生的解題能力十分有利，而且對提高學生的數學素養更加有利.

（責任編輯 金 鈴）