數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力

數(shù)學(xué)高度的抽象性，嚴密的邏輯性，廣泛的運用性，知識的連續(xù)性，方法的抽象性，概念、公式、運算的符號化等，使學(xué)生進入高中或大學(xué)后，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)普遍感到越來越難學(xué)，造成這一現(xiàn)象的主要因素是數(shù)學(xué)高度的抽象性。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)好學(xué)生的抽象能力，是排除學(xué)生理解障礙、提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本文結(jié)合教學(xué)實踐，從三個方面論述了數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)生抽象能力恩格斯指出：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。”數(shù)學(xué)，為了在比較純粹的狀況下研究空間形式和數(shù)量關(guān)系，才不得不把客觀對象的所有其他特征拋開不管，只抽象出空間形式和數(shù)量關(guān)系進行研究，這就決定了數(shù)學(xué)的主要特征是抽象性。數(shù)學(xué)的抽象性是經(jīng)過一系列階段形成的，它達到的抽象程度大大超過了自然科學(xué)中的一般抽象。從最原始的概念點、線、面、集合等，到三維空間立體圖形、向量等較抽象的概念，再到像微積分、泛函，帶有運算的集合（群、環(huán)、域），拓撲結(jié)構(gòu)——群（以滿足一定條件的集合為“元素”）等更抽象的概念；空間從三維歐式空間到n維、無窮維線性空間等，整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座由一系列抽象的概念和結(jié)構(gòu)建成的大廈。使學(xué)生進入高中或大學(xué)后普遍感到數(shù)學(xué)越來越難學(xué)的原因很多，如數(shù)學(xué)的準確性（就是它嚴密的邏輯性），廣泛的運用性，知識的連續(xù)性，以及其他一些非智力因素等，筆者認為，造成上述現(xiàn)象的主要原因是數(shù)學(xué)概念、命題、公式和方法的抽象性。在初中、高中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生進入高中、大學(xué)后有的怎么就不優(yōu)秀了？難道是高中教師沒有初中教師教的好，大學(xué)教師又不如高中教師教的好？顯然，實際原因并非完全如此（如在中考、高考壓力下，一些不喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生也會考得較好成績），“罪魁禍首”是數(shù)學(xué)的抽象性，它使我們在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中不斷地被淘汰，事實就是這么殘酷，以致造成一個奇特的現(xiàn)象：絕大部分的數(shù)學(xué)知識裝在極少數(shù)人的腦子里。因此，培養(yǎng)好學(xué)生的抽象能力，應(yīng)該成為我們?nèi)粘?shù)學(xué)教學(xué)中的基本任務(wù)，這是培養(yǎng)學(xué)生其他能力的重要基礎(chǔ)，也是提高學(xué)生考試成績的有效途徑。所謂抽象能力，就是從許多事物中，舍棄個別的，非本質(zhì)的屬性，抽象出共同的本質(zhì)屬性的能力。數(shù)學(xué)的抽象性表現(xiàn)為它高度的概括性，抽象和概括是相互聯(lián)系，不可分割的。下面從三個方面對培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力談點陋見，僅供參考。

一、在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映，是科學(xué)抽象的結(jié)果，正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)知識的前提。在初等數(shù)學(xué)里，一般都是通過實例抽象概括出數(shù)學(xué)概念，再以定義形式表達。在這個過程中，教師應(yīng)充分運用實例，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、類比，抽象概括出共同的本質(zhì)屬性，再學(xué)會用語言或數(shù)學(xué)符號表達出來，形成概念，然后又回到實例，再做進一步抽象。教師的善于舉例是很重要的，教材上的例子一般都是很典型的，但教師還應(yīng)根據(jù)教學(xué)的需要，加以取舍或補充，另外，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會逐步抽象。例如，映射是一個很重要也較抽象的數(shù)學(xué)概念（現(xiàn)在一些高職高專的數(shù)學(xué)教材里砍去了這部分內(nèi)容，對進一步學(xué)習(xí)函數(shù)和一些高等數(shù)學(xué)知識是不利的），老版本教材上是先回顧初中接觸過的一些對應(yīng)實例，接著又舉了三個實例：①，②，③，筆者認為有必要再補充一個例子（如④），教師可留給學(xué)生一定時間，讓學(xué)生觀察、比較它們的不同點和共同點，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出映射的定義。然后，啟發(fā)學(xué)生歸納對應(yīng)種類：②是“一對一對應(yīng)”，①是“多對一對應(yīng)”，③是“一對多對應(yīng)”，④不是對應(yīng)。前兩種對應(yīng)都是映射，也叫單值對應(yīng)，“一對多對應(yīng)”不是映射，叫多值對應(yīng)。接著再引導(dǎo)學(xué)生觀察映射的區(qū)別，又歸納出映射的種類：單映射（簡稱單射），滿映射（簡稱滿射），既是單射又是滿射即稱一一映射，只有一一映射才有逆映射（逆映射是B到A的一一映射）。回顧初中學(xué)過函數(shù)的描述性定義可知，過去學(xué)的函數(shù)是一種特殊映射：非空數(shù)集合A到非空數(shù)集合B的映射。接著進一步抽象概括出函數(shù)的一般定義：設(shè)A、B是兩個非空集合，則從A到B的映射f：A？B（f是對應(yīng)法則）叫做A到B的函數(shù)。教師還可指出，一對多的對應(yīng)，即一個x值有幾個y值與之對應(yīng)，據(jù)函數(shù)的定義不是函數(shù)，但為了方便，我們約定，把這種情況稱之為y是x的多值函數(shù)，如，反三角函數(shù)y=Arcsinx是多值函數(shù)。最后，教師不妨順便提一句，近20年來，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念——“關(guān)系”，一掃原來定義中關(guān)于“對應(yīng)”含義存在的模糊性，而使函數(shù)概念更為準確、正確，應(yīng)用的范圍更為廣泛了。這樣教學(xué)對學(xué)生深刻理解函數(shù)、反函數(shù)的概念，進一步學(xué)習(xí)其它高等數(shù)學(xué)知識和培養(yǎng)學(xué)生抽象能力都是有利的。