高考模擬題精選之數學解答題

理科部分

1． 設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．

（1） 求sin2A-sin2B-sin（A+B）?ｓｉｎ（A-B）的值；

（2） 如果2a2=c2+2b2，求tan（A-B）的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

2． 在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C所對的邊，且（2ｂ-ｃ）ｃｏｓA＝ａｃｏｓC．

（1） 求A的大小；

（2） 現有三個條件：①a=2；②B=45°；③c=b．試從中選出兩個可以確定△ABC的條件為一組，要求選出兩組，并以此為依據分別求出三角形的面積．

3． 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cos2B+6sinAsinC=1．

（1） 若A，B，C成等差數列，求三角形三個內角的大小；

（2） 求角B的取值范圍．

4． 設函數f（x）=cos2x-+2cos2x．

（1） 求f（x）的最大值，并寫出當f（x）取得最大值時x的集合；

（2） 已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．

5． 已知數列｛ａｎ｝的前ｎ項和為Sｎ，ａ1＝1，且2ｎSｎ+1-2（ｎ+1）Sｎ＝ｎ2+ｎ （ｎ∈N*）；數列｛bｎ｝的前n項和為Tn，且Tn= （ｎ∈N*）．

（1） 求數列｛ａｎ｝與｛bｎ｝的通項公式；

（2） 若cｎ=ａｎbｎ，求證：數列｛cｎ｝的前n項和Wn<1．

6． 已知數列｛ａｎ｝滿足a1=a （ａ＞0，ａ∈N*），a1+a2+…+an-ｐan+1＝0 （ｐ≠0，ｐ≠-1，ｎ∈N*）．

（１） 當a=1，p=時，求數列｛ａｎ｝的通項公式ａｎ；

（２） 若對每一個正整數k，ａk+1，ａk+2，ａk+3按從小到大的順序排列后均能構成等差數列，且公差為dk． ①求p的值及對應的數列｛ｄk｝的通項公式． ②記Sk為數列｛ｄk｝的前k項和，問是否存在a，使Sk<30對任意正整數k恒成立?若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由．

7． 已知正數數列｛ａｎ｝的前n項和為Sn，且2，，（ａｎ+1-1）ｐ成等差數列 （ｎ∈N*，ｐ是已知常數）.

（１） 若p=1，a1=3，求數列｛ａｎ｝的通項公式及Sn；

（２） 若n≥2，p=-1，求證：an+1≤an≤．

8． 如圖1所示，已知ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=120°，CE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，CE=，DF=2．

（1） 試在BF上找一點G，使得EG∥平面ABCD；

（2） 求二面角F-BE-D的余弦值．

9． 如圖2所示，在幾何體S-ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=CD=SD=2，BC=1，∠SDC=120°．

（1） 求SC與平面SAB所成的角的正弦值；

（2） 求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．

10． 如圖3所示，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1，BB1，CC1垂直于平面ABC，AA1=1，BB1=2．

（１） 若邊AB上存在點P，使CP∥平面A1B1C1，求CC1的長度的取值范圍；

（２） 若平面A1B1C1⊥平面AA1C1C，求直線BC與平面A1B1C所成的角的余弦值．

11． 如圖４所示，在三棱錐P-ABC中，CP，CA，CB兩兩垂直且相等，過PA的中點D作平面α∥BC，α分別交PB，PC于點M，N，交AB，AC的延長線于點E，F.

（１） 求證：EF⊥平面PAC；

（２） 若AB=2BE，求二面角P-DM-N的余弦值．

12． 已知橢圓+=1 （a>b>0）過點A（，1），離心率為．

（1） 求橢圓的方程；

（2） 過點B，-的直線l交橢圓于M，N兩點，如果直線AM的斜率為-，求△AMN的面積．

13． 給定橢圓C：+=1 （a>b>0），稱圓心在原點O、半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F1（，0），其短軸上的一個端點到F1的距離為．

（1） 求橢圓C的方程及其“伴隨圓”的方程；

（2） 若傾斜角為45°的直線l與橢圓C只有一個公共點，且直線l與橢圓C的“伴隨圓”交于M，N兩點，求弦MN的長；

（3） 點P是橢圓C的“伴隨圓”上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使l1，l2分別與橢圓C只有一個公共點，求證： l1⊥l2．

14． 過橢圓+=1 （a>b>0）的頂點作坐標軸的平行線，圍成矩形ABCD．

（１） 若M是矩形對角線AC與橢圓的一個交點，F是橢圓的一個焦點，MF⊥x軸，求橢圓的離心率；

（２） 以AC為直徑作圓，過圓上的點作橢圓的兩條切線. 除A，B，C，D以外，圓上是否還存在使切線相互垂直的點？如果存在，請找出這些點；如果不存在，請說明理由．

15． 如圖5所示，在y軸右側的動圓P與圓O1：（ｘ-1）2+ｙ2＝1外切，并與ｙ軸相切．

（1） 求動圓的圓心P的軌跡方程；

（2） 過點P作圓O2：（ｘ+1）2+ｙ2＝1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點，設AB中點為M（0，ｍ）． 求ｍ的取值范圍．

１6． 已知函數f（x）=lnx-ax （a∈R）在x=1處取得極值.

（1） 求實數a的值并指出函數f（x）的單調區間；

（2） 當n≥2 （n∈N*）時，比較n2與n+ln（n！）2的大小.

17． 函數f（x）=aex，g（x）=lnx-lna （ａ＞0），y=f（x）和y=g（x）的圖象與坐標軸有交點，且它們在交點處的切線互相平行．

（1） 求兩平行切線的距離；

（2） 若存在x使不等式>成立，求實數m的取值范圍；

（3） 對于函數y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數x0，我們把f（x0）-g（x0）的值稱為兩函數在x0處的偏差． 求證:函數y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．

18． 已知函數f（x）=alnx-（x-1）2-ax （a∈R）．

（1） 求f（x）的單調區間；

（2） 設a>0. 如果對于f（x）的圖象上兩點P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（1＜x1＜x2），存在x0∈（x1，x2），使得f（x）的圖象在x＝x0處的切線m平行于P1P2，求證：x0<．

文科部分

19． 在△ABC中，sinA-cosA=，sinAsinB=cos2．

（1） 求角A的大小；

（2） 判斷△ABC的形狀．

20． 已知向量a=（2，ｓｉｎｘ），b=（ｓｉｎ2ｘ，2cosx），函數f（x）=a?b．

（1） 求f（x）的單調遞增區間；

（2） 若在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且（ａ-ｃ）ｃｏｓB＝ｂｃｏｓC ，求f（A）的取值范圍．

21． 設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2sinAsinBsinC=（ｓｉｎ2A+ｓｉｎ2C-ｓｉｎ2B）．

（1） 求角B的大小；

（2） 求cosA+cosC的最大值．

22． 已知正數數列｛ａｎ｝滿足a1=1，an+1=+2an （ｎ∈N*）．

（１） 求a2，a3；

（２） 求證：數列｛ｌｏｇ2（ａｎ+1）｝為等比數列，并求出數列｛ａｎ｝的通項公式．

23． 設數列｛ａｎ｝的前n項和為Sn． 已知a1=a，an+1=Sn+3n （ｎ∈N*）．

（１） 設bn=Sn-3n，求數列｛ｂｎ｝的通項公式；

（２） 若an+1≥an （ｎ∈N*），求ａ的取值范圍．

24. 已知數列｛ａｎ｝的前ｎ項和為Sｎ （ｎ∈N*），a1=1，Sｎ＝ｎａｎ-ｎ（ｎ-1），令ｂｎ＝，數列｛ｂｎ｝的前ｎ項和為Tｎ．

（１） 求證：數列｛ａｎ｝為等差數列，并寫出ａｎ關于n的表達式；

（２） 是否存在正整數m，n （1

25． 如圖6所示，在邊長為2的正方形紙片ABCD的兩個頂點A，C處豎直插上兩根木棍AE，CF（粗細忽略不計），長度分別為4和1，用繩聯結BD，CE，EF并拉直．

（１） 求證： BD⊥CE；

（２） 求繩EF所在直線與正方形ABCD所在平面所成的角的正切值．

26． 如圖7所示，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=，CD=，BC=1． 將直角梯形ABCD繞AB所在直線旋轉一周，形成一個幾何體．

（１） 求該幾何體的體積V；

（２） 設直角梯形ABCD繞AB所在直線旋轉角度θ （∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，問是否存在θ使得AD′⊥C′D？若存在，求角θ的值；若不存在，請說明理由．

27． 如圖8所示，在空間四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，AD=CD，BD⊥CD，E為BD的中點，P，Q分別為AE，CE的中點．

（１） 求證：PQ∥平面ACD；

（２） 求直線PQ與平面ABD所成的角的大小．

28. 如圖9所示，在底面為矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD且PA=xAD，E是PD的中點．

（１） 求證：PB∥平面ACE；

（２） 是否存在正實數x使得平面PCD⊥平面ACE？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

29． 已知函數f（x）＝ax3+x2-（2+2a）x+b （a∈R）．

（1） 若y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=，求y=f（x）的解析式，并判斷其單調性；

（2） 若y=f（x）在［-2，0］上存在極值點，求實數a的取值范圍．

30． 已知函數f（x）=lnx-ax2-bx （a，b∈R，a≠0）．

（1） 當0

（2） 當b=2時，若函數f（x）存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍．

31. 已知函數f（x）=ax3+bx2-3x （a，b∈R）在點（1， f（1））處的切線方程為y=-2．

（1） 求函數f（x）的解析式；

（2） 若過點M（2，m） （m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

32． 已知橢圓C1：+=1 （a>b>0）的長軸長為4，離心率為，F1，F2分別為其左、右焦點． 拋物線C2的焦點與F2重合，準線經過F1點．

（1） 求橢圓的方程與拋物線的方程；

（2） 在拋物線C2上有四點M，N，P，Q，與共線，與共線，且?=0，求四邊形PMQN的面積的最小值．

33． 如圖10所示，已知拋物線y2=6x上有兩個動點A和B，F是焦點，AF+BF=7，線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．

（1） 求點C的坐標；

（2） 當線段AB最長時，求△ABC的面積．

34. 如圖11所示，已知拋物線C：y2=2px （ｐ＞0）的準線為ｌ，焦點為F． 圓M的圓心在x軸的正半軸上且圓M與y軸相切． 過原點O作傾斜角為的直線n交l于點A， 交圓M于點B，且AO=OB=2．

（1） 求圓M和拋物線C的方程；

（2） 過l上的動點Q作圓M的切線，切點為S，T，求證：直線ST恒過一個定點，并求出該定點的坐標．

《大魚》

威廉出生的時候，父親愛德華正在釣一條大魚。他以黃金戒指作餌，終于如愿讓大魚上鉤了，但狡猾的大魚卻咬斷魚線逃跑了。威廉就在那一刻出生，他像一條滑溜溜的大魚在醫院的走廊里滑行了很遠，護士們好不容易才抓住他……

這僅僅是父親給威廉講的傳奇故事中的一個。夜訪女巫、智退巨人、誤入幽靈小鎮……父親的每個故事都讓威廉著迷。但隨著年齡的增長，威廉對父親的態度漸漸由崇拜變成了不恥：這些事不可能是真的，父親是個大話王！

長大后，威廉輾轉得知，他出生的時候，父親因為出差沒能在第一時間看到兒子。這個寡淡的事實和那個關于大魚的童話究竟哪個更能打動人心呢？

在父親的葬禮上，威廉終于見到了父親故事中的那些人。他們沒有故事里那么夸張，但故事里的那些事也不全是編造的。威廉終于體會到了父親的良苦用心——他將自己的人生經歷編織成一個個美麗的童話，給年幼的威廉展示了一個神奇的世界。