數(shù)列中的函數(shù)思想

提問：在數(shù)列學(xué)習(xí)中，我遇到這樣一個問題：“已知數(shù)列｛an｝滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式．”利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)時，有以下兩種解法．

解法一：設(shè)an+1+x=2（an+x），解得x=3×5n，所以｛an+3×5n｝是公比為2的等比數(shù)列．

解法二：設(shè)an+1+5n+1x=2（an+5nx），解得x=-1，即an+1-5n+1=2（an-5n），所以｛an-5n｝是公比為2的等比數(shù)列．

解法一和解法二的結(jié)論不同，請問哪種解法是對的·為什么·

回答：根據(jù)解法一的結(jié)論“｛an+3×5n｝是公比為2的等比數(shù)列”，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，定義bn=an+3×5n，則有bn+1=an+1+3×5n．而根據(jù)函數(shù)思想，設(shè)f（n）=bn=an+3×5n，則有f（n+1）=bn+1=an+1+3×5n+1． 顯然，an+1+3×5n≠an+1+3×5n+1，兩者相互矛盾，解法一錯誤．

我們把問題改編一下：“已知an+1＝2an+3，a1＝6，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式．”這樣一來，題目就能用解法一來解答：設(shè)an+1+x=2（an+x），解得x=3，即an+1+3=2（an+3）． 所以｛an+3｝是公比為2的等比數(shù)列，an+3=（a1+3）·2n-1=9×2n-1，即an=9×2n-1-3． 檢驗(yàn)得a1=9×21-1-3=6，符合題意． ∴ an=9×2n-1-3，n∈N*.

對比原題，我們不難發(fā)現(xiàn)，解法一主要錯在所求系數(shù)x=3×5n中含有變量n，而n的值會隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的變化而變化． 因此，同學(xué)們在使用待定系數(shù)法時，要特別注意所求的系數(shù)應(yīng)是一個與n無關(guān)的常數(shù)，這個常數(shù)通常是某個具體的數(shù)，有時也可以是除n以外的字母表示的代數(shù)式．