構造恰當的函數

在解決函數綜合題，尤其是與方程、不等式等內容有關的函數綜合題時，數形結合法的使用非常廣泛. 這里的“形”主要指函數圖象，但選擇怎樣的函數作圖是有講究的． 我們不能只是機械地選取題中所給的現成函數來作圖，必要時可通過方程、不等式等進行變形，從中選擇或構造恰當的函數，這樣可以更加有效地解決問題，使數形結合的運用如虎添翼．

例 已知函數f（x）＝x+■+5-m，m∈R. 試討論關于x的方程f（x）＝0的正實數解的個數．

解法一：方程的解即函數f（x）的零點，要討論f（x）=0的正實數解的個數，我們可以研究f（x）在（0，+∞）上的圖象．

f′（x）＝1-■＝■.

當x>0，m≤4時，∵ （x+2）2＞4， ∴ f′（x）>0， f（x）在（0，+∞）上單調遞增．又f（0）=5-■>0， ∴ f（x）的大致圖象如圖1所示， 此時 f（x）沒有正的零點．

當x>0，m＞4時， f′（x）=■，當0■-2時，f′（x）＞0， f（x）單調遞增. f（x）的大致圖象如圖2所示．

當f（x）min=f（■-2）=2■+3-m=0，即m=9時，f（x）有1個正的零點；

當f（■-2）＞0，即4

當f（■-2）＜0且f（0）=5-■>0，即9

當f（■-2）＜0且f（0）≤0，即m≥10時， f（x）有1個正的零點．

綜上所述，當m<9時，方程f（x）=0沒有正實數解；當m=9或m≥10時，方程f（x）=0有1個正實數解；當9

評析：用函數的零點來解決方程的解的問題，是解答例題的關鍵． 解法一直接利用了條件中的現成函數來作圖，但這個函數含有參數，所以要進行分類討論，解答過程不免有些繁冗．

解法二：采用變量分離法，由方程x+■+5-m=0可得m=■，于是，方程的正實數解的個數就是函數y=m和函數g（x）=■ （x>0）的圖象交點的個數．

g′（x）＝■． 當x>1時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；當0

評析：解法二通過變量分離法，將方程解的問題轉化為關于x的新函數g（x）與y=m的交點問題，其好處是g（x）不再含有參數m，無需對m的取值范圍進行分類討論，優化了解答過程．

解法三：對方程x+■+5-m=0去分母整理得：m（x+1）=x2+7x+10 （①），所以方程的正實數解的個數就是直線y=m（x+1）和拋物線g（x）=x2+7x+10在（0，+∞）上的交點個數．

如圖4所示，直線y=m（x+1）過定點（-1，0），當直線與拋物線相切于y軸右側，即直線與拋物線在x∈（0，+∞）上只有一個交點時，通過①式的判別式Δ＝（7-m）2-4（10-m）=0可解得m=9. 當直線過（0，10）時，直線y=m（x+1）與拋物線也只有一個交點，解得m＝10． 根據直線斜率的變化可知，當m<9時，方程f（x）=0沒有正實數解；當m=9或m≥10時，方程f（x）=0有1個正實數解；當9＜m<10時，方程f（x）=0有2個正實數解．

評析：在解法三中，方程的變形是有“預謀”的，目的是構造更簡單的函數. 第一步去分母是為了去掉分式函數，第二步整理方程得到①式是為了在方程的等號兩邊構造我們熟悉的一次函數和二次函數，這樣兩個函數的圖象就可不經過求導直接作出，解答過程更加簡潔明了．

小結：從以上分析可以看出，題干給出的函數不一定是我們用來作圖分析的最佳選擇．有效的策略是：首先利用方程和不等式的性質對數式進行變形化簡，簡化運算過程；其次，方程和不等式問題的本質就是對等式或不等式兩邊的函數進行比較，所以要有目的地對等式或不等式進行轉化，構造恰當的函數，使圖形操作更簡便可行．

【練一練】

已知關于x的不等式x2+2x-t+1>x-t恒成立，求t的取值范圍．

【參考答案】

簡解：不等式可化為x2+2x+1>x-t+t，根據題意，函數f（x）=x2+2x+1的圖象須在函數g（x）=x-t+t的圖象上方． g（x）=x-t+t=x，x≥t；2t-x，x