走出困境:二元怎樣歸一元

主 講：許志鋒

中學高級教師，臺州市“教學能手”，擁有20余年高三教學經驗，參加過“國家級骨干教師”培訓并被授予合格證書.

推薦名言

邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具．

——龐加萊 （法國數學家，提出了世界七大難題之一“龐加萊猜想”）

在高中階段，同學們僅學過對一元函數求導．可在某些函數問題中，我們卻不得不面對兩個獨立的自變量．怎樣將二元函數轉化為一元函數呢·我們將以2011年南京市的一道高考模擬題為例，深入探討這一話題．

例 已知函數f（x）=x-1-alnx （a∈R）．

（1） 若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x-y-3=0，求a；

（2） 求證： f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1；

（3） 若a<0，且對于任意的x1，x2∈（0，1］，都有f（x1）-f（x2）≤4■-■，求ａ的取值范圍．

問題（1）解答

f′（x）＝1-■． ∵ 曲線y= f（x）在x=1處的切線方程為3x-y-3=0， ∴ f′（1）=3． 解得a=-2.

問題（2）證明

若a=1，則f（x）=x-1-lnx （x>0），f′（x）=1-■． 當0

反之，觀察可得f（1）＝0，若f（x）＝x-1-alnx≥0恒成立，則x=1作為定義域（0，+∞）內的一點（非端點），應當是f（x）的極小值點， ∴ f′（1）=1-■=0，解得a=1．

∴ f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1.

問題（3）解析

首先，我們要設法去掉絕對值． 不等式f（x1）-f（x2）≤4■-■兩邊都有x1，x2，設0

要去掉f（x1）-f（x2）的絕對值，就要考慮f（x）的單調性. ∵ f（x）的定義域為（0，+∞）， ∴當a<0時， f′（x）=1-■>0， f（x）在（0，+∞）上單調遞增， ∴ f（x1）-f（x2）＝f（x2）-f（x1）．

這樣一來，問題（3）就等價于“若a<0，且對于任意的0

如果將f（x）＝x-1-alnx代入①式，①式就成了一個含有x1，x2兩個變量且同時含有對數式與分式的不等式． 麻煩來了，二元怎樣歸一元·

讓我們換個角度處理①式. 將同一變量的表達式置于等號同側，可得f（x2）+■≤f（x1）+■ （②）． 將②式的左右兩邊看做函數F（x）＝ f（x）+■的自變量x分別取x1和x2時的值. 在0

設F（x）＝f（x）+■，則F′（x）=1-■-■=■． 問題進一步轉化為“在區間（0，1］上，g（x）=x2-ax-4≤0恒成立，求a的取值范圍”． 我們注意到，g（x）的圖象開口向上，且g（0）=-4<0，只要使g（1）≤0，就可使g（x）≤0在（0，1］上恒成立．由g（1）≤0解得a≥-3． 所以a的取值范圍是［-3，0）．

點 評

分析例題的解答過程，顯然，從①式到②式的細微變化是解題成功的關鍵．因為②式左右兩邊相同的結構形式會促使我們聯想到構造一元函數F（x）＝f（x）+■，并將關于x1，x2的二元函數看做關于ｘ的一元函數的兩個取值．這種方法有點類似于數列問題中構造新數列求解原數列的方法．比如，“在數列｛ａｎ｝中，已知ａ1＝1，ｎａｎ+1-（ｎ+1）ａｎ＝ｎ（ｎ+1），求｛ａｎ｝的通項公式”，解答的關鍵是對等式兩邊同除以ｎ（ｎ+1），得■-■＝1，然后將■，■看做等差數列｛ｂｎ｝中相鄰的兩項，并通過｛ｂｎ｝的通項公式解得｛ａｎ｝的通項公式ａｎ＝ｎ2．

【練一練】

已知函數f（x）=（ａ+1）ｌｎｘ+ａx2+1.

（1） 討論f（x）的單調性；

（2） 若ａ＜-1，且對任意的ｘ1，ｘ2∈（0，+∞）， f（x1）-f（x2）≥4x1-x2，求ａ的取值范圍．

【參考答案】

簡解：（1） f（x）的定義域為（0，+∞）， f′（x）＝■+2ａｘ=■．

若a≥0，則■＞0，2ａｘ≥0，∴ f′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）上單調遞增.若ａ≤-1，同理可得f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減. 若-1＜ａ＜0，令f′（x）＝0，解得ｘ＝±■，則f′（x）＝■在（0，+∞）上僅有一個零點ｘ＝■，當ｘ∈0，■時，f′（x）＞0， f（x）單調遞增；當ｘ∈■，+∞時， f′（x）＜0， f（x）單調遞減．

（2） 當a<-1時，由（1）可知f（x）在（0，+∞）上單調遞減． 設0

-■=■=■-2，又■≥0， ∴ ａ∈（-∞，-2］．