向量更深入 復數有提升

主 講：沈新權

浙江省數學特級教師，嘉興市數學會副會長.

推薦名言

可以用一次的想法是一個訣竅，如果可以用兩次以上，那它就成為一種方法了．

——喬治·波利亞 （匈牙利數學家，提出了組合數學的重要工具波利亞計數定理）

向量與復數兼具代數與幾何的特征，既能進行代數形式的運算，又能進行幾何形式的變換，這種“身份”使它們能作為數學工具，解決函數、幾何等多種數學問題．其中，復數還是高等數學中復變函數的基礎．因此在自主招生考試中，向量與復數出現的頻率比較高．

一、向量問題

例1 （2010年北京大學自主招生考試第4題） ■，■的夾角為θ，■=2，■=1，■=t■，■=（1-ｔ）■，■＝ｆ（ｔ）在ｔ＝ｔ0時取得最小值. 若0＜ｔ0＜■，求θ的取值范圍．

解析： 設g（ｔ）=■2， ∵ ■，■的夾角為θ，■=2，■=1，又■＝■-■＝（1-ｔ）■-ｔ■， ∴ ｇ（ｔ）＝■2＝（5+4ｃｏｓθ）ｔ2-（2+4ｃｏｓθ）ｔ+1． ∵ 5+4ｃｏｓθ＞0，∴ ｇ（ｔ）的圖象開口向上，ｇ（ｔ）的判別式Δ=16（ｃｏｓ2θ-1）≤0. ∴ ｇ（ｔ）≥0，∴ 當t=t0=■時，■=f（ｔ）取得最小值. 由0<■<■解得-■<ｃｏｓθ<0， ∴ θ∈■，■．

例2 （2008年南京大學自主招生考試問答題第２題） 在△ABC中任取一點O，用SA，SB，SC分別表示△BOC，△AOC，△AOB的面積，求證：SA·■+SB·■+SC·■=0．

解析：如圖1所示，以O為原點、OC所在的直線為x軸建立直角坐標系，設■=x，■=y，■=z，∠AOC＝α，∠AOB＝β，∠BOC＝γ，其中α+β+γ＝2π．

SA·■+SB·■+SC·■＝■yzsinγ·（xcosα，xsinα）+■xzsinα·［ycos（α+β），ysin（α+β）］+■xysinβ·（z，0）=■xyz［cosαsinγ+sinαcos（α+β）+sinβ］，■xyz［sinαsinγ+sinαsin（α+β）］.

∵ γ=2π-（α+β）， ∴ cosαsinγ+sinαcos（α+β）+sinβ=-cosαsin（α+β）+sinα·cos（α+β）+sinβ=-sinβ+sinβ＝0. 又sinαsinγ+sinαsin（α+β）＝-sinαsin（α+β）+sinαsin（α+β）＝0， ∴ SA·■+SB·■+SC·■=0．

利用例2的結論，我們還可以證明：若△ABC的邊長為a，b，c，①當O為△ABC的重心時，■+■+■=0；②當O為△ABC的內心時，a·■+b·■+c·■=0；③當O為△ABC的外心時，sin2A·■+sin2B·■+sin2C·■=0；④當O為△ABC的垂心時，tanA·■+tanB·■+tanC·■=0．

二、復數問題

從代數角度看，解決復數問題的關鍵是把復數問題實數化．在復數問題實數化時，既可以借助復數的代數形式，也可以利用復數的三角形式，同時還可充分利用共軛復數及復數模的相關性質簡化解題過程．從幾何角度看，解決復數問題的關鍵在于合理利用復數運算（加減乘除）的幾何意義，減小運算量．

例3 （2008年上海交通大學自主招生考試第4題） 復數z=1，若存在負數a使得z2-2az+a2-a=0，則a= ．

解析：要解決例3，同學們須掌握復數z=a+bi的三角形式z=r（cosθ+isinθ） ，其中模r=a2+b2，輻角θ由tanθ=■和θ的終邊所在的象限確定.當復數的模為1時，利用復數的三角形式解決問題會相對簡單一些.

設z=cosθ+isinθ，則z2-2az+a2-a=cos2θ-2acosθ+a2-a+i（sin2θ-2asinθ）=0，可得cos2θ-2acosθ+a2-a=0 （①），sin2θ-2asinθ＝0 （②）.由①式得sinθ＝0或a=cosθ. 當sinθ＝0時，a=■>0，∵ a<0，∴舍去；當a=cosθ時，解得a=■． ∵ a<0， ∴ a=■．

解決例3的關鍵是利用復數相等的充要條件，把復數問題轉化為實數問題來解決．

例4 （2011年“卓越聯盟”自主招生考試第4題） i為虛數單位，設復數z滿足z=1，則■的最大值為

（A） ■-1（B） 2-■（C） ■+1（D） 2+■

解析：我們先來了解復數加減法的幾何意義．

復數加法的幾何意義：設復數z1=a+bi， z2=c+di在復平面上所對應的向量為■，■，則■=（a，b），■＝（ｃ，ｄ）. 以■，■為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應的向量■=■+■=（a+c，b+d）． ■就是復數z=z1+z2=（a+c）+（b+d）i在復平面上對應的向量．

復數減法的幾何意義：設復數z1=a+bi，z2=c+di在復平面上所對應的向量為■，■，則■=■-■=（a-c，b-d）． ■就是復數z=z1-z2=（a-c）+（b-d）i在復平面上對應的向量．

如果像例3一樣設復數的三角形式，或直接用代數形式求解■，運算量會很大．我們可以先化簡■． ∵ ■＝■＝■＝z-（1+i）， ∴ 問題轉化為求z-（1+i）的最大值． ∵ z=1，∴ 由復數減法的幾何意義可知，z-（1+i）的最大值為復平面中單位圓上的點到復數1+i所對應的點的距離的最大值， ∴ ■max=■+1． 選C．

例5 （2003年復旦大學自主招生考試第8題） 已知z1=2，z2=3，z1+z2=4 ，求■．

解析：解決例５時，我們會用到兩個知識.一是公式z·■=z2；二是若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a，b，c為實數）的判別式Δ＝b2-4ac<0，則方程的根為一對共軛的虛根x=■，韋達定理仍舊成立．

由題意可得z1·■=4，z2·■=9，z1+z22=16=（z1+z2）（■+■）＝13+■+■. 令■=z，則9z+■=3，解得z=■±■i， 即■=■±■i．

例6 （2011年“卓越聯盟”自主招生考試第10題） 設σ是坐標平面上的點按順時針方向繞原點作角度為■的旋轉，τ表示坐標平面上的點關于y軸的鏡面反射．用τσ表示變換的復合，先做τ，再做σ；用σk表示連續k次σ的變換，則στσ2τσ3τσ4是

（A） σ4（B） σ5 （C） σ2τ（D） τσ2

解析：我們先來了解復數的乘除法的幾何意義．

復數乘法的幾何意義：設復數z1=r1（cosα+ｉｓｉｎα），z2=r2（cosβ+ｉｓｉｎβ），在坐標系中把復數z1所對應的向量■按逆時針（β＞0）或順時針（β＜0）旋轉β個角度，并將■的模長伸長（r2＞1）或縮短（0＜r2＜1）到原來的r2倍，由此得到的向量所對應的復數就是z1·z2．

同理，復數除法的幾何意義為：把復數z1所對應的向量■按順時針（β＞0）或逆時針（β＜0）旋轉β個角度，并將■的模長伸長（0＜r2＜1）或縮短（r2＞1）到原來的■倍，由此得到的向量所對應的復數就是■ （z2≠0）.

要解決例6，我們先設復平面上的點所對應的復數為ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ+ｉｓｉｎθ），記σz為復數z對應的點做一次σ變換后得到的點所對應的復數，記τz為復數z對應的點做一次τ變換后得到的點所對應的復數，由復數除法的幾何意義可得，σz=rcosθ-■π+isinθ-■π，τz=r［cos（π-θ）+isin（π-θ）］，由此可得復數對應的點每次變換后所對應的輻角．根據題中定義的變換規則，στσ2τσ3τσ4后，ｚ所對應的輻角變化依次為θ ■ θ-■π ■ ■π-θ ■ ■π-θ ■ ■π+θ ■ θ-■π ■ ■π-θ ■ ■π-θ． 同理， 經過A、B、C、D選項的變換，復數z對應的點所對應的復數的輻角分別為θ-■π，θ-■π，■π-θ，■π-θ． 選D．

【下期預告】

在自主招生考試中，對數列內容的考查達到了怎樣的程度·極限問題的考查重點又在哪里·在下一講中，我們將就這兩個問題展開討論．