如何求解函數圖象選擇題

近幾年，浙江省的高考數學卷中常常會出現函數圖象選擇題.這類問題蘊涵了數形結合的思想方法，要求同學們既能根據函數解析式研究函數的性質，又能將函數的性質轉化為函數的圖象特征，對同學們的識圖能力和作圖能力都有較高的要求.如何求解函數圖象選擇題呢？這就是我們今天要討論的問題.

例1 （2012年高考數學新課標全國卷第10題） 已知函數f（x）=，則y=f（x）的圖象大致為

解析一： y=f（x）的定義域為x>-1且x≠0，排除選項D；取x=e-1>0，得y==<0，排除選項A；取x=-，得y=，因為lnx在（0，+∞）上單調遞增，所以ln2>ln=，所以-ln2<-，故y=<0，排除選項C. 選B.

點評： 解析一使用了特殊點法.一般來說，圖象中的特殊點（如零點、極值點等）常常具有某些特定的含義，能為解題提供重要的信息.

我們還可以根據函數的單調性來解答例1.要分析函數的單調性，往往需要對函數求導，并根據導函數的零點確定函數的單調區間，以判斷函數的圖象特征.

解析二： y=f（x）的定義域為x>-1且x≠0，排除選項D.對f（x）=求導得f′（x）=. 當x>0時， f′（x）>0， f（x）在（0，+∞）上單調遞增，排除選項A；當-1

點評：相對來說，解法一比較簡捷，解法二則更具常規性.通過導數研究函數的單調性及函數圖象，始終是現階段高考的熱點.

例2 （2011年高考數學陜西卷理科第3題） 設函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），則函數y=f（x）的圖象是

解析： 由f（-x）=f（x）可得y=f（x）是偶函數，其圖象關于y軸對稱，選項B、D符合條件；由f（x+2）=f（x）可得y=f（x）是周期為2的周期函數，選項D的圖象的最小正周期是4，選項B的圖象的最小正周期是2，選B.

點評： 根據函數解析式反映的對稱關系研究函數圖象也是求解函數圖象選擇題的常用方法.為了更快更準確地分析函數圖象的對稱性，同學們應掌握奇函數的圖象關于原點對稱、偶函數的圖象關于y軸對稱、互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱等知識，并了解函數y=f（x）的圖象與函數y=f（-x），y=-f（x），y=f（x），y=f（x）的圖象的關系.

總的來說，特殊點法方便而快捷，合理取點是關鍵，需要同學們多加練習；單調性研究法常規而自然，合理應用導數是根本；對稱性研究法形象而直觀，但需要同學們有敏銳的觀察力，并熟悉奇函數、偶函數、冪函數等多種基本函數的圖象.將以上方法融會貫通，才是解答函數圖象選擇題的根本出路.

例3 （2012年高考數學山東卷理科第9題） 函數y=的圖象大致為

解析： 先使用對稱性研究法：設g（x）=cos6x，h（x）=2x-2-x，則g（x）為偶函數，h（x）為奇函數，所以y=為奇函數，圖象關于原點對稱，排除選項A. 再使用特殊點法：令y=0，得cos6x=0，此時6x=+kπ （k∈Z），解得x=+，故函數有無窮多個零點，排除選項C. 最后使用單調性分析法：當y=0時，y=的圖象在y軸右側的第一個零點為，0，當00且單調遞減，h（x）=2x-2-x>0且單調遞增，所以函數y=>0且單調遞減，排除選項B. 選D.

小結： 在求解函數圖象選擇題時，有些問題比較簡單，只要采用一種方法就可解決. 如例1中的函數含有ln（x+1），我們就可以考慮代入特殊值x=e-1判斷正負，或用常規的求導方法解決. 例2的題設f（-x）=f（x）， f（x+2）=f（x）明確地體現了函數的奇偶性和周期性，因此可以利用函數的對稱性來解題.有些題目則比較復雜，如例3中的函數是分式形式，且同時含有三角函數和冪函數，僅用一種方法難以判定函數圖象的特征，這就需要同學們綜合多種方法進行分析.

要順利地求解函數圖象選擇題， 首先應掌握正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數和三角函數等常見函數的圖象特征，并判斷題中函數的圖象是否是由這些常見函數的圖象通過平移、伸縮等變換而來的.其次，要靈活應用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、零點、極值點等性質排除不符合題意的選項，綜合判定函數圖象的特征.

我們可以用一句話概括和記憶求解函數圖象選擇題的策略：記變換，找特點（值），用性質，看趨勢.

【練一練】

函數y=-2sinx的圖象大致是

【參考答案】

C （提示： y=-2sinx為奇函數，排除選項A. 求導得y′=-2cosx，令y′=0，解得cosx=.設x0是使cosx=成立的最小正數，則x0∈0，，所以x=2kπ+x0或2kπ+2π-x0 （k∈Z）. 又y=cosx在0，上單調遞減，所以當x∈（0，x0）時，cosx>，此時y′<0，y=-2sinx單調遞減；當x∈（x0，2π-x0）時，cosx<，此時y′>0，y=-2sinx單調遞增；當x∈（2π-x0，2π+x0）時，cosx>，此時y′<0，y=-2sinx單調遞減.以此類推，結合圖象可得答案為C）

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