挖掘三角函數問題的隱含條件
2012-04-29 00:00:00林威
中學生天地·高中學習版 2012年10期
在浙江省的數學高考中，涉及三角形的三角函數問題往往設計新穎、考查知識點豐富、解法多樣. 雖然難度不大，但如果同學們不能結合三角函數圖象與三角形性質深入分析，就有可能忽視題設或解題過程中的隱含條件，導致錯解. 今天我們就以一道高考題為例，談談如何挖掘三角函數問題的隱含條件.
例 （2012年高考數學浙江卷理科第18題問題（2）） 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 已知cosA=，sinB=cosC. 若a=，求△ABC的面積.
錯解： 因為cosA=>0，所以A∈0，，sinA==. 又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得sinC=cosC. 等式兩邊同時平方可得sin2C=5（1-sin2C），因為0
由正弦定理可得===，解得c=.
由余弦定理可得cosA===，解得b=或b=.
結合a=，c=可知，b=或b=均滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊，即b=或b=均符合題意. 由S△ABC=bcsinA可得△ABC的面積為或.
錯因分析：b=和b=都是正數解，且均滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊的性質，錯解看起來似乎無懈可擊.但b=實際上是一個增根.
讓我們結合三角函數圖象與三角形性質進行分析. 如圖1所示，y=cosx在0，上單調遞減，因為A∈0，，所以由cosA=>可得A<.
因為a=>b=，由三角形大邊對大角的性質可知B 又由錯解得sinC==cosC，所以cosC=>0，所以C<. 所以A+B+C<++=π，這樣的三角形顯然不成立，故b=不符合題意. 我們還可以用“算兩次”原理來驗算，即用不同方法求解同一對象，根據兩次求出的答案是否相同來判斷所得答案的正確性. 當b=時，由正弦定理得===，解得sinB=. 又由錯解得sinC=，因為sinC=cosC，故cosC=，所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=·+·=. 兩次所求得的sinB的值相互矛盾，所以b=不合題意. 當b=時，因為c==b，所以∠B=∠C，△ABC為等腰三角形.由錯解得sinC==cosC，所以cosC=. 因為∠B=∠C，所以sinB=sinC=，cosB=cosC=，所以sinA=sin（B+C）=sin2B=2sinBcosB=. 又由cosA=可得sinA==. 兩次所求得的sinA的值相等，故b=滿足題意. 錯解忽視了三角形內角和等于π的隱含條件，沒有對求得的兩個解進行驗算，導致了解題范圍的擴大. 用余弦定理求三角形邊長時，會出現二次方程并可能導致兩個解.為了避免這種情況，我們應盡量用正弦定理求三角形的邊長，這樣就能得出問題的唯一解. 如果用余弦定理求解，就要對求得的解進行驗算. 正解：由錯解得sinC=cosC=，c=，又由題設知sinB=·cosC，所以sinB=，而a=，所以S△ABC=acsinB=. 小結：涉及三角形的三角函數問題往往包含了一些隱含條件，比如：①三角形內角和等于π；②銳角三角形任意兩角之和大于；③三角形內角大小均大于0且小于π；④大邊對大角；⑤三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；⑥當三角形的內角為時，其正切值不存在；⑦三角形內角的正弦函數的值域為（0，1），余弦函數的值域為（-1，1），等等. 如何挖掘這些隱含條件呢？我們從以下三點著手： （1） 根據題設條件，盡可能縮小角的范圍.首先根據三角函數值判斷三角形內角為銳角、直角還是鈍角；其次結合三角函數在（0，π）上的有界性和單調性，進一步縮小角的范圍.如由sin2B=sinA-2sin2A>0解得sinA∈0，，由此可判斷0 （2） 盡量避免出現多解的情況.由于三角形內角的正弦值總為正，因此在求角時，為了避免使用正弦定理出現多解的情況，應盡量使用余弦定理.而在求邊長時，為了避免使用余弦定理出現多解的情況，應設法先求出角的正弦值，再用正弦定理求出邊長. （3） 當問題出現多解時應進行驗算. 結合解題中已經求得的量，綜合三角函數圖象與三角形性質如大角對大邊、三角形內角和等于π等進行取舍. 【練一練】 在△ABC中，已知·=3·. （1） 求證：tanB=3tanA；（2） 若cosC=，求A的值. 【參考答案】 解： （1） 因為·=3·，所以AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，即AC·cosA=3BC·cosB （①）. 由正弦定理得=，代入①式得sinB·cosA=3sinA·cosB （②）. 因為0 （2） 因為0 當tanA=-時，tanB=-1，此時∠A，∠B均大于，△ABC不成立. 所以tanA=1，A=.
