怎樣理解數(shù)列的單調(diào)性

對于題目“已知單調(diào)遞增數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+λn，求λ的取值范圍”，我的解法是：設(shè)函數(shù)f（x）=x2+λx （x∈N*），由于f（x）是圖象開口向上的二次函數(shù)且它在N*上單調(diào)遞增，所以其對稱軸x=-應(yīng)該滿足-≤1，解得λ≥-2. 但正確答案是λ>-3，我到底錯在哪里？

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其特殊之處在于數(shù)列的定義域通常是N*或其子集，因此數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)圖象是一個個離散的點(diǎn).數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別.

提問中數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式對應(yīng)的函數(shù)f（x）=x2+λx （x∈N*）的圖象是坐標(biāo)系中離散的點(diǎn).結(jié)合圖1、圖2可知，只要滿足a2>a1，數(shù)列{an}就是單調(diào)遞增數(shù)列. 所以點(diǎn)A1，A2既可以同在f（x）圖象對稱軸的右側(cè)（如圖1所示），也可以分布在對稱軸的兩側(cè)（如圖2所示）.你的解答只考慮了圖1的情況，縮小了解題的范圍.

要使一個數(shù)列具有單調(diào)性，關(guān)鍵是要確保an+1>an或an+1n2+λn （n∈N*）恒成立，整理得λ>-2n-1 ，因?yàn)椋?2n-1）max=-3，所以λ>-3.

如果數(shù)列通項(xiàng)公式對應(yīng)的函數(shù)形式比較簡單，就可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列本身的特殊性質(zhì)解決問題.比如，提問中的函數(shù) f（x）=x2+λx是一個定義域?yàn)镹*的二次函數(shù)，其函數(shù)圖象在對稱軸x=-的左側(cè)單調(diào)遞減、右側(cè)單調(diào)遞增. 當(dāng)A1在對稱軸左側(cè)、A2在對稱軸右側(cè)，且A1到對稱軸的距離小于A2到對稱軸的距離時，a2>a1，f（x）=x2+λx （x∈N*）單調(diào)遞增.由此可得--1<2--，解得λ>-3.

求解數(shù)列問題時，我們應(yīng)始終注意兩點(diǎn)：第一，數(shù)列與函數(shù)有共性，因此很多數(shù)列問題可以參考解函數(shù)題的方式與方法.第二，數(shù)列與函數(shù)有區(qū)別，數(shù)列是離散化的特殊函數(shù)，解題時應(yīng)充分考慮數(shù)列本身獨(dú)有的性質(zhì)和特征，并非所有的函數(shù)解題方法都能一成不變地套用到數(shù)列問題中.