最熟悉的陌生題

在上期內(nèi)容中，我們從總體上介紹了研究高考題在高考復習中的作用及重要性.今天，我們將開始系統(tǒng)地研習高考題. 首先，讓我們從同學們最熟悉的復習資料——高中數(shù)學教材講起.

高考命題專家一向重視對教材的研究，尤其是新課程改革實施以來，高考試卷中出現(xiàn)了不少以教材中的例題、習題或數(shù)學素材為背景的試題.今天，我們主要討論兩個問題：命題專家是如何利用教材命制高考題的？我們該如何利用教材更好地復習？

命題方式一：教材中問題的簡單改編

教材中的數(shù)學問題內(nèi)容豐富、層次分明，分例題、練習題、復習參考題等不同部分，對其中的一些問題稍作改編，就能得到高考試題.

例1 （2011年高考數(shù)學浙江卷理科第5題） 設實數(shù)x，y滿足不等式組x+2y-5>0，2x+y-7>0，x≥0，y≥0.若x，y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是

（A） 14（B） 16（C） 17（D） 19

分析： 例1中的高考題源自人教版A版必修五第89頁的例6：求滿足約束條件2x+y≥15，x+2y≥18，x+3y≥27，x≥0，y≥0的目標函數(shù)z=x+y的最優(yōu)解.原題與高考題的解法完全一致，不同之處在于題干中的數(shù)值設置有區(qū)別，且高考題所求的最優(yōu)解為整數(shù)解，解答時應在臨界點處尋求符合條件的整點.

解： 如圖1所示，陰影部分即為可行域.由x+2y-5=0，2x+y-7=0得x=3，y=1.因為點A（3，1）不在可行域內(nèi)，又x，y為整數(shù)，代入點（4，1）與點（3，2），計算可得過點（4，1）時3x+4y有最小值16，選B.

命題方式二：教材中素材的充分挖掘

例2 （2008年高考數(shù)學浙江卷理科第10題） 如圖2所示，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是

（A） 圓（B） 橢圓

（C） 一條直線（D） 兩條平行直線

分析： 例2其實考查了橢圓的本質(zhì)定義，即橢圓是與圓柱的母線斜交的平面截圓柱所得的截口曲線的軌跡，命題思路源自人教版A版選修2-1第42頁“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中的《為什么截口曲線是橢圓》一文. 教材是這樣描述的：“用一個與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線.你能夠證明截口曲線是橢圓嗎？”

如圖2所示，因為△ABP的面積為定值，且AB的長度為定值，所以點P到AB的距離為定值，即空間內(nèi)的點P的軌跡是以AB為軸的圓柱.又點P在平面α上，AB為平面α的斜線段，所以點P的軌跡就是平面α斜截圓柱所得的截口曲線，即橢圓.如果我們熟悉教材內(nèi)容，就能一眼看出這個問題的本質(zhì)，并輕而易舉地解決問題. 借用趙本山的一句話來形容：“小樣，別以為換了件馬甲我就不認識你！”

解： 由△ABP的面積與AB的長度為定值可得點P到AB的距離為定值，所以點P的軌跡是以AB為軸的圓柱.又點P在平面α上，AB為平面α的斜線段，所以點P的軌跡是橢圓. 選B.

命題方式三：實際情景在數(shù)學模型中的運用

教材中講到一些抽象的數(shù)學模型，命題專家往往會把實際情景和數(shù)學模型結(jié)合起來，考查數(shù)學模型在實際情景中的應用.

例3 （2010年高考數(shù)學浙江卷理科第19題） 如圖3所示，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落到A或B或C. 已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設為一、二、三等獎.

（1） 已知獲得一、二、三等獎的折扣率分別為50%，70%，90%. 記隨機變量？孜為獲得k （k=1，2，3）等獎的折扣率，求隨機變量？孜的分布列及期望E？孜；

（2） 若有3人次（投入1球為1人次）參加促銷活動，記隨機變量？濁為獲得一等獎或二等獎的人次，求P （？濁=2）.

分析： 例3涉及獨立重復事件與互斥事件的概率運算、隨機變量的分布列以及數(shù)學期望等知識，其命題背景是人教版A版選修2-3第70頁提到的“高爾頓板”. “高爾頓板”是個具有普遍意義的數(shù)學模型，教材統(tǒng)計了小球在“高爾頓板”不同出口出現(xiàn)的概率，并畫出其正態(tài)分布曲線，反映了隨機變量的正態(tài)分布情況. 例3正是以此為背景，要求計算獲獎這個具有實際意義的事件的概率和數(shù)學期望問題.試題的命制既在“意料之外”，又在“情理之中”.

解： （1） 由題意得？孜的分布列為：

則E？孜=×50%+×70%+×90%=.

（2） 由（1）可知，獲得一等獎或二等獎的概率為+=. 由題意得？濁～B3，，則P（？濁=2）=21-=.

命題方式四：教材中問題結(jié)論的應用

教材中很多例題、習題的結(jié)論有著深刻的數(shù)學背景，如果能在解題時用好這些結(jié)論，就很容易找到解題思路，確定解題方法.

例4 （2008年高考數(shù)學江蘇卷第13題） 滿足條件AB=2，AC=BC的△ABC的面積的最大值為 .

分析：例4的解題思想源于人教版A版必修2第144頁復習參考題B組第2題：已知M（x，y）與兩個定點M1，M2距離的比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（考慮m=1和m≠1兩種情形）. 在這個問題的結(jié)論中，當m≠1時，點M的軌跡是圓.在例4中，點C到點A，B的距離之比為，所以結(jié)合教材中的結(jié)論可知，點C的軌跡是一個圓.

其實例4有很多解法，我們可以先計算AB邊上的高的最大值，再求三角形面積的最大值；也可以將它轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題，直接計算三角形的面積；還可以根據(jù)AC邊上的中線長為定值來解決問題. 但無論哪一種方法，都不會比下面的解法更自然、更簡潔.

解： 如圖4所示，以AB為x軸、AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系. 由題意可得A（-1，0），B（1，0）. 設C（x，y），由AC=BC可得（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]，整理得（x-3）2+y2=8，所以點C的軌跡是以（3，0）為圓心、2為半徑的圓，所以S△ABCmax=×2×ymax=2.

命題方式五：教材中問題的升級創(chuàng)新

例5 （2012年高考數(shù)學浙江卷理科第16題） 定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實數(shù)a= .

分析： 例5考查了一個新概念，其實質(zhì)就是利用我們熟悉的“點到直線的距離”定義“曲線到直線的距離”.它的命題來源是人教版A版選修2-1第47頁例7：已知橢圓+=1，直線l：4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點，它到直線l的距離最小？最小距離是多少？這道高考題將原題的問題提煉成一個新的概念，要求同學們先理解“曲線到直線的距離”的概念，再將問題轉(zhuǎn)化為普通的“求點到直線的距離”的問題，通過類比思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題.如果我們熟悉教材上的問題，掌握了它們的求解方法，并能活學活用，那么這樣的創(chuàng)新問題對我們而言也不算什么了.

解： 由題意可得C2：x2+（y+4）2=2的圓心為（0，-4），半徑為，圓心到直線l：y=x的距離為=2，所以曲線C2到直線l的距離d=2-=.

由曲線C1：y=x2+a可得y′=2x.因為直線l：y=x的斜率為1，令y′=1可得x=，所以曲線C1：y=x2+a上的點，+a到直線l：y=x的距離即為曲線C1到直線l的距離d′，d′==.

由d′=d=解得a=或a=-.將a=-代入曲線C1：y=x2+a，與直線l：y=x聯(lián)立方程，可得判別式大于零，故曲線C1與直線l有交點，即曲線C1到直線l的距離為零；曲線C2與直線l無交點，所以a=-不合題意，舍去.同理，當a=時，可得判別式小于零，滿足題意. 所以a=.

通過以上分析，我們對源于教材的高考題的來龍去脈有了大致的了解，自然也就不難理解高考試題“源于教材又高于教材”這句話了. 想必你已經(jīng)明白，本文就是為了提醒大家，在高考復習時一定要重視教材.到底該怎么做呢？我們有以下幾點建議：

（1） 通過對高考試題的整理和分析，從教材中找出重點考查的知識點，梳理知識模塊之間的關系，使知識系統(tǒng)化.

（2） 理解教材中的每一個定義和推論，并嘗試推導一遍，在推導的過程中理解這些定義和推論的由來與本質(zhì).

（3） 根據(jù)教材中的表格和插圖，分析數(shù)據(jù)與圖象的變化規(guī)律，摸索總結(jié)數(shù)學規(guī)律，并與相關知識模塊的定義、定理對比分析，相互驗證.

（4） 學習教材教授的解題方法，多做幾遍教材中的題，探索問題的本質(zhì)，掌握解決問題的通性通法.

（5） 有些問題有多種解法，比如直線方程有點斜式、斜截式、兩點式等多種形式，我們可以將不同形式方程的不同解題方法進行對比，列出它們的特點和適用場合，進行綜合理解和記憶.

（6） 關注教材中的“探究與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“閱讀與思考”等欄目，做一做這些欄目中的習題，尋找這些習題中蘊涵的新結(jié)論和新定理.

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