數(shù)學(xué)解題失誤成因分析與應(yīng)對(duì)策略

在歷年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常有些平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)得很好的同學(xué)在考試中考出不滿意的成績(jī)，不能很好地展現(xiàn)自己的學(xué)習(xí)成果。是什么原因造成這些考生的遺憾，這是本課研究的主題，怎樣有效地避免類似的悲劇在以后的考查中重演，則是本課要達(dá)到的目標(biāo)。

一、錯(cuò)誤的特征

解題錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)過(guò)程中的正常現(xiàn)象，它既與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境有關(guān)，又與試題的難易程度有關(guān)。同時(shí)也與考生學(xué)習(xí)水平、身體與心理狀況有關(guān)。數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤既有個(gè)性又有共性，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤有一定的規(guī)律性。

1.主觀盲動(dòng)性。數(shù)學(xué)解題是主體感受并處理數(shù)學(xué)信息的創(chuàng)造性的思維過(guò)程。部分考生考試時(shí)求勝心切，閱讀未切題意，憑個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)盲目做題，而考試命題人對(duì)試題要實(shí)現(xiàn)突破被應(yīng)試成分，以至于出現(xiàn)主觀認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤， 陷入思維定勢(shì)，形成解題思維障礙，造成主觀盲動(dòng)性錯(cuò)誤。

2.漏洞隱蔽性。數(shù)學(xué)解題是考生借助特定“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中考生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有著決定性的作用。個(gè)體思維的跳躍性是產(chǎn)生思維漏洞的根本原因，這種思維漏洞一旦產(chǎn)生，考生是很難發(fā)現(xiàn)的，考生本人還自我感覺(jué)很好。這是直覺(jué)形式思維跳躍度和平時(shí)解題不寫過(guò)程有關(guān)，是聰明人犯的愚蠢的錯(cuò)誤。

3.形式多樣性。解題錯(cuò)誤形式多樣性是由數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛性和個(gè)體思維的不確定性決定的。一般來(lái)說(shuō)考生有除有知識(shí)性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤、心理性錯(cuò)誤、策略性的錯(cuò)誤外，閱讀理解失誤有忽視隱含、忘記特殊、以偏概全、忽視分類。

4.錯(cuò)誤可避性。解題錯(cuò)誤是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中形成的，是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中的正常現(xiàn)象。所謂“吃一塹長(zhǎng)一智”，就是說(shuō)我們要增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的錯(cuò)誤警戒意識(shí)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，并構(gòu)建數(shù)學(xué)解題過(guò)程中常見性錯(cuò)誤的“錯(cuò)題寶典”，養(yǎng)成解題反思，平時(shí)多重視作業(yè)卷子的錯(cuò)誤分析，找準(zhǔn)原因，及時(shí)糾正，因此高考數(shù)學(xué)解題中的錯(cuò)誤也是可以避免的。

二、錯(cuò)誤的成因分析

1.概念理解不透

例1 曲線+=1(m<6)與曲線的+=1(5

A.焦點(diǎn)相同B.焦點(diǎn)同在一坐稱軸上

C.焦距相等 D.頂點(diǎn)相同

剖析——正確選擇為C，但ABC極易相混淆.本題要分清曲線到底是什么圓錐曲線，才能相應(yīng)的應(yīng)用概念來(lái)解答

應(yīng)對(duì)策略——對(duì)概念性質(zhì)一定要認(rèn)識(shí)本質(zhì)，是解題最基礎(chǔ)的東西，在平時(shí)的練習(xí)中就要養(yǎng)成好的習(xí)慣，在認(rèn)識(shí)中不斷提升理解熟練程度。

2.閱讀理解不細(xì)

例2 在極坐標(biāo)系中，從極點(diǎn)O作圓。ρ=8sinθ的弦ON，則ON的中點(diǎn)的軌跡方程是 。

剖析——正確結(jié)果在極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ，錯(cuò)誤原因是寫成了直角坐標(biāo)系內(nèi)的方程x2+y2-4y=0。不是你不會(huì)，就是理解偏差。

應(yīng)對(duì)策略——審題細(xì)致，克服粗心大意，是解題的良好習(xí)慣，克服低級(jí)錯(cuò)誤，絕對(duì)不能出現(xiàn)“答非所問(wèn)”，知道細(xì)節(jié)決定成敗。像本例學(xué)習(xí)時(shí)必須不放過(guò)細(xì)節(jié)。

3.等號(hào)條件不用

例3 已知：a>0， b>0， a+b=1，求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯(cuò)解：(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8，

∴(a+)2+(b+)2的最小值是8。

剖析——上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=，第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。

事實(shí)上，原式= a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4= (1－2ab)(1+)+4，

由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=， 且≥16，1+≥17，

∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，

∴(a+)2 + (b+)2的最小值是。

應(yīng)對(duì)策略——在用不等式求最值時(shí)，忽視不等式中等號(hào)成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。還要掌握等式不成立時(shí)，如何求解的方法，如求+最小值。

4.忽視數(shù)形結(jié)合思想

例4 求過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法：設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線為y=kx+1，則它與拋物線的交點(diǎn)為

y=kx+1y2=2x，消去y，整理得 k2x2+(2k-2)x+1=0。

直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=0，解得k=。∴所求直線為y=x+1。

剖析——此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+1時(shí)，沒(méi)有考慮k=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即k≠0，而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

綜上，滿足條件的直線為：y=1，x=0，y=x+1。

應(yīng)對(duì)策略——數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用極為廣泛，要重點(diǎn)掌握。有了形，數(shù)就直觀。平時(shí)積累常見被忘記的特殊情況如二次項(xiàng)系數(shù)為0、斜率不存在、零向量、共線向量、共面等等并且配以相應(yīng)的圖形加深理解，多用一題多解訓(xùn)練，不斷積累不斷比較方法優(yōu)劣，注意解后反思.

5.參數(shù)討論不分

例5 設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)和Sn＞0（n=1，2，3…）。

（1）求q的取值范圍；

（2）設(shè)bn=an+2－an+1，｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小。

剖析（1）因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，Sn＞0，可得a1=S1＞0，q≠0，

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1＞0，

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=＞0，即＞0（n=1，2，3，…），則有1-q>0，1-qn>0，①或1-q<0，1-qn<0。② 由②得q＞1，由①得－1＜q＜1。故q的取值范圍是（－1，0）∪（0，+∞）。

（2）由bn=an+2－an+1=an（q2－q），∴Tn=（q2－q）Sn，

于是Tn－Sn=Sn（q2－q－1）=Sn（q+）（q－2），又Sn＞0且-1＜q＜0或q＞0，則當(dāng)－1＜q＜－或q＞2時(shí)，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn， 當(dāng)－＜q＜2且q≠0時(shí)，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn， 當(dāng)q=－或q=2時(shí)，Tn－Sn=0， 即Tn=Sn。

應(yīng)對(duì)策略：在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，從而達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的，這一思想方法，我們稱它為“分類討論的思想”。引起分類討論原因，通常有以下幾種：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的（如|x|的定義，P點(diǎn)分線段的比等）；②公式、定理、性質(zhì)或運(yùn)算法則的應(yīng)用范圍受到限制；③幾何圖形中點(diǎn)、線、面的相對(duì)位置不確定；④求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；⑤數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果。

分類討論的一般步驟是：（1）確定討論對(duì)象和確定研究的全域；（2）進(jìn)行科學(xué)分類（按照某一確定的標(biāo)準(zhǔn)在比較的基礎(chǔ)上分類），“比較”是分類的前提，“分類”是比較的結(jié)果。分類時(shí)，應(yīng)不重復(fù)，不遺漏；（3）逐類討論；（4）歸納小結(jié)，整合得出結(jié)論。

6.隱含條件疏忽

例6 已知(x+2)2+=1， 求x2+y2的取值范圍。

錯(cuò)解 由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，

∴當(dāng)x=－時(shí)，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范圍是(－∞， ]。

剖析——沒(méi)有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。

事實(shí)上，由于(x+2)2+=1?圯(x+2)2=1-≤1?圯-3≤x≤-1，

從而當(dāng)x=－1時(shí)x2+y2有最小值1。∴x2+y2的取值范圍是[1，]。

應(yīng)對(duì)策略——注意有界性：偶次方x2≥0，三角函數(shù)-1≤sinx≤1，指數(shù)函數(shù)ax>0，圓錐曲線有界性等。注意公式成立的條件。

以上是本人對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題加以粗淺的分析和總結(jié)。歡迎予以批評(píng)指正。

【參考文獻(xiàn)】

[1]喬家瑞.數(shù)學(xué)高考失分對(duì)策[M].北京大學(xué)出版社，1997.11.

（作者單位：上海市育才中學(xué)）