淺論三角函數(shù)問題教學中學生解題技能的培養(yǎng)

【摘 要】三角函數(shù)章節(jié)是初中數(shù)學函數(shù)章節(jié)知識的有效延伸，是高中向量以及三角恒等變式等內(nèi)容的有效鋪墊，起著承上啟下的銜接作用。三角函數(shù)問題有效解答需要學生具有良好的解題技能。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；問題教學；解題技能

三角函數(shù)作為解決生活實際問題的有效工具，學生在實際解答中需要具有行之有效、針對性的解題技能。而解題技能作為學生學習能力水平的重要表現(xiàn)，在三角函數(shù)章節(jié)問題教學活動中，成為新課標下高中數(shù)學教師能力教學的重要內(nèi)容和目標。近年來，本人結(jié)合教學綱要以及重難點內(nèi)容，在實際教學中進行了粗淺的嘗試和探究，現(xiàn)簡要論述三角函數(shù)問題教學中學生數(shù)形結(jié)合、劃歸思想以及分類討論等解題技能培養(yǎng)的體悟及策略。

一、利用三角函數(shù)的生動性，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的解題技能

華羅庚先生曾用“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”對數(shù)形結(jié)合解題技能進行了精辟論述。眾所周知，三角函數(shù)作為高中數(shù)學學科知識體系的重要分支，無論在表現(xiàn)形式上，還是在現(xiàn)實生活中，都表現(xiàn)出顯著的多樣性、生動性和趣味性。同時，通過對三角函數(shù)整體章節(jié)內(nèi)容的分析，可以發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)實際是平面圖形內(nèi)容與函數(shù)知識的有效結(jié)合體。因此，教師在解答三角函數(shù)章節(jié)問題時，首先要樹立數(shù)形結(jié)合的解題思想，將三角函數(shù)問題看作是平面圖形和數(shù)學內(nèi)涵有效結(jié)合的“存在體”，利用“數(shù)”的精準性和“形”的直觀性，相互兼容，有效滲透，進行三角函數(shù)問題的有效解答。

二、利用三角函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化與化歸的解題技能

化歸與轉(zhuǎn)化解題技能是解決數(shù)學問題的根本思想。化歸與轉(zhuǎn)化就是通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選取恰當?shù)姆椒ㄟM行變化，將所要解答問題轉(zhuǎn)化到能夠解決或容易解決的問題。三角函數(shù)章節(jié)與其他知識點內(nèi)容之間有著深刻的聯(lián)系，其中在解答三角函數(shù)實際運用問題時，就要運用到轉(zhuǎn)化與化歸解題技能。因此，在實際解答三角函數(shù)問題時，要善于抓住三角函數(shù)與其他知識的緊密聯(lián)系特性，按照化生為熟、化繁為簡、和諧化、直觀化等相關(guān)原則，進行問題的有效解答。

問題：已知函數(shù) 。（1）若f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍，并證明之。（2）是否存在正實數(shù)a，對于f(x)定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1，都能構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{xn}，使其滿足條件 。

解：（1）

證明：若a＞0，函數(shù)定義域為 ，

不對稱，所以為非奇非偶函數(shù)。同理，a＜0時，也是非奇非偶函數(shù)。當a=0時， ，是奇函數(shù)。

所以， ；

（2）由題意可知，函數(shù)f(x)的值域B應為定義域A的子集，即 ，

求出函數(shù)定義域為 ，利用單調(diào)性（或?qū)?shù)）可求出函數(shù)值域為 ，不滿足 ，所以這樣的正實數(shù)a不存在。

分析：上述問題案例的解答過程中，教師就引導學生利用轉(zhuǎn)化與化歸解題策略，采用化繁為簡的原則，進行等價互換，從而實現(xiàn)該類型問題的有效解答。

三、利用三角函數(shù)的豐富性，培養(yǎng)學生分類討論的解題技能

分類討論是數(shù)學問題解答中經(jīng)常運用到的數(shù)學解題方法之一，也是學生思維全面性、合理性的重要表現(xiàn)條件之一。它是指對問題中的各種情況進行分類或?qū)λ婕暗姆秶M行分割，然后分別加以研究和求解。學生分類討論解題方法的運用，能夠有效避免審題不清、考慮不完善等情況的發(fā)生。

問題：已知函數(shù) 是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點 對稱，且在區(qū)間

上是單調(diào)函數(shù)，求 的值。

解：由f(x)是偶函數(shù)，得f(-x)=f(x)

總之，解題技能是學生解題活動有效開展的重要保障，更是學生學習效能提升的先決條件。本人在此僅作簡要闡述，期望同人能夠共同參與到學生解題技能的培養(yǎng)活動中，為有效教學活動扎實開展貢獻力量。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學）