高中數學中的立體幾何解題技巧

高中數學中的立體幾何是重點和難點之一，作為培養空間思維的立體幾何，其基礎知識的掌握及應用程度取決于我們對空間圖形的認識與處理及正確思維方法的選擇。為此，筆者現就立體幾何解題中幾種常見的技巧予以分解，以供同仁參考。

1、巧作輔助圖形，采用特殊化法

例：求棱長為a的正四面體A-BCD的體積和外接球的半徑。

解析：由于正四面體的六條棱相等，易聯想到正方體的六個面的對角線相等。于是構作輔助圖形，即將正四面體補成正方體DE. 由AB=a，易得正方體棱長AE=■a，V■=V■-4V■=■a■由正方體是球的內接正方體，易知外接球半徑為■a.

例：在三棱錐P—ABC中，三條棱PA，PB，PC兩兩互相垂直。設D為底面ABC內任一點，若PD與平面PAB，面PBC所成角分別為30°，45°.求PD與平面PAC所成角的正切值。

解析：本題若直接求解非常冗繁，但若考慮到題設條件，則以PD所在直線為對角線，PA、PB、PC所在線段為三條棱構作輔助圖形長方體，使問題特殊化：即求該長方體的對角線PM與側面PAC所成角的正切值。設PD與側面PAB，PBC，PAC所成角分別為α，β，γ.則依據長方體性質有：sin2α+sin2β+sin2γ=1.由條件知α=30°，β=45°.∴sin2γ=1-（sin2α+sin2β）=■.∴tanγ=■為所求。

評注：通過構造輔助圖形，使原命題特殊化來解答某些立體幾何問題，不但可以簡化解題過程，優化問題解答，而且能開拓解題的思維視野，使問題解答獨辟蹊徑。

2、尋找主要矛盾，采用“隔離法”

例： 二面角α-l-β為30°，點A在平面α內，點A到直線l的距離為2，點A在平面β內的射影為B，B在平面α內射影為點A′，點A′在面β內射影為B′.求點B′到棱l的距離。

解析：本題由于條件太復雜，干擾因素太多，不便于分析。現依據圖形抽出主要對象，便有如下解法：∵AB⊥β，AA′⊥α設由相交直線AB、AA′確定的平面交l于M，則平面ABM⊥α面ABM⊥β.易證∠ABM為二面角α-l-β的平面角。把△ABM隔離出來：MB′=MA′cos30°=MBcos■30°=MAcos■30°=2·（■）■=■.

評注：在立體幾何解題（證明）時，緊抓主要對象，把主要對象從復雜的線、面、體等關系中隔離出來，單獨研究。可以直觀、方便的使問題獲解（證明），避免因受圖中太多輔助線（或面）干擾而擾亂視角。

3、變動圖形，巧用運動觀點解題

例：二面角α-a-β的平面角為120°，在平面α內，AB⊥α于B，AB=2，在平面β內，CD⊥β于D，CD=3，BD=1，M是棱a上一動點，則AM+CM的最小值為多少？

解析：現將β平面繞a棱旋轉到和α平面位于同一平面的位置， C點落在C′位置。連接AC′交BD于M1，當點M1與M點重合時，AM+CM最小。由△C′DM～△ABM，易求得AM+CM最小值為■.

例：已知一個三棱錐的5條棱長均為1，則另一條棱長的取值范圍是 .

解析：由條件 設AB=AC=BC=SB=SC=1，現把△SBC以BC為軸進行旋轉，在△SBC的運動過程中，各邊長度均不變，當點S靠近A點時，SA→0；當點S靠近點S′時，SA→■.所以SA長度的取值范圍為（0，■）.但需注意點S不能運動到面ABC內，否則就不能構成三棱錐。

評注：當我們求解一些立體幾何中的最值、范圍等問題時，如果能恰當地變換圖形位置，用運動的觀點考察問題，常能收到事倍功半的效果。

4、“設而不求”，簡化運算

例：已知正四棱錐S-ABCD，用平行于底面的平面截得面A1B1C1D1所得多面體的上、下底面的面積分別為Q1Q2.側面面積為P，求它的一個對角面面積。

解析：易證所得多面體的對角面為等腰梯形且上、下底的長可以由上、下底面積解得，高即為此多面體的高。如果直接求解有關元素，運算過程太復雜。現采用設而不求的方法：設對角面面積為S，多面體上、下底面邊長為a，b，高為h，斜高為h′則S=

評注：對有些立體幾何問題，一般的常規方法在求解時會出現一些不是非有不可的步驟和環節。此時若把握全局，明確問題與條件間的關系，巧妙避開“非求部分”，采用“設而不求”另辟蹊徑，可以簡化解題過程。這是一種重要的思想方法。

5、 以“形”助“數”，數形結合方法

例：正△ABC的邊長為a，沿BC的平行線PQ折疊，使平面A′PQ⊥面BCQP，設點A′到直線PQ的距離為x.①試求x為何值時，AB取得最小值。②設∠BA′C=θ，求角θ的最大值。

解析：①作AD⊥BC于D，設AD∩PQ=E，∵BC‖PQ.

∴AE⊥PQ.折起后A′E⊥OP.面A′PQ⊥面PBCQ，∴A′E⊥面PBCQ，連接EB，則∠AE′B=90°，且A′E=AE=x，∴ED=■a-x.

設A′B=d，則d2=A′E2+EB2=A′E2+ED2+BD2=x2+（■a-x）2+（■）2=2（x-■a）2+■a■.∵0

∴d=A′B■=■a此時PQ為△ABC的中位線。

②易得A′C=A′B=d.在△A′BC中，cosθ=■=1-■.當d2取最小值時，即d■=■a■時，cosθ取最小值■.而θ是△A′BC的內角，∴0<θ<π.又∵y=cosx在（0，π）上是減函數，∴Q■=arccos■，此時，x=■a.

評注：在立體幾何有關的計算問題中都可以通過尋找量與量的關系建立函數或方程式，從而把原問題轉化為代數問題求解。

（作者單位：江西省贛州市尋烏中學）