淺析解題策略在高中數學問題教學中運用

【摘 要】高中生在階段時期的問題解答過程中，逐步掌握和形成了解答問題的方法和策略。本文作者結合高中數學問題教學實踐體會，對高中數學問題解答過程中經常運用的解題策略進行了簡要論述。

【關鍵詞】高中數學；問題教學；解題策略；解題能力

教學活動的根本宗旨，就是“教是為了不教”。教師在問題教學活動中，通過指導學生開展問題解答活動，傳授學生問題解答方法，總結問題解答策略，逐步形成了有效解答的方法和手段。同時，學生作為學習活動的主人，在解答問題的階段訓練過程中，逐步形成了一定的解題技巧和解題策略。實踐主義認為，學生解題策略的有效掌握，能夠實現學習效能的有效提升。本人現根據問題教學實踐體會，對高中數學問題教學中，經常運用到的幾種解題策略，進行簡要的論述。

一、數形結合的解題策略

數形結合解題策略，是高中數學問題解答中經常運用的解題方法之一，華羅庚教授曾經用“數缺形時少直覺，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”的語句進行生動闡述。數形結合教學策略，實際就是將“數”的精準嚴密性與“形”的直觀生動性進行有效補充，采用“以形助數，以數解形”的方式進行有效運用。在高中數學三角函數、平面向量以及立體幾何等章節問題解答中有著廣泛的應用。

問題：是說明函數f（x）=x2-2ax+3在（-2，2）內的單調性。

上述問題是關于“三角函數”知識點內容的問題案例。由于三角函數章節是“數”與“形”有效融合的結合體，學生在解答該方面知識點，可以利用數形結合思想進行解答。學生在解答該問題案例過程中，如果直接進行解答會有一定的困難，但采用數形結合思想，作出函數f（x）=x2-2ax+3的圖像，根據圖像內容，聯系問題要求，就能較容易解答。其解題過程如下：

解： ∵f（x）=x2-2ax+3=（x-a）2+3- a2，對稱軸為x=a，

∴若a≤-2，則f（x）=x2-2ax+3在（-2，2）內是增函數；

若-2≤a≤2，則f（x）=x2-2ax+3在（-2，a）內為減函數，在（a，2）內為增函數；

若a≥2，則f（x）=x2-2ax+3在（-2，2）內為減函數。

二、分類討論的解題策略

分類討論解題策略就是結合問題條件，對問題解答過程中出現的情況，結合問題要求，進行甄別分析，列出符合問題解答要求的條件。分類討論解題策略的運用，能夠有效避免問題解答的不完整性，提高學生的解題全面性。

問題：給出定點A（a，0）（a>0）和直線l：x=-1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系.

解：設C（x，y）、B（-1，b），則BO的方程為y=-bx，直線AB的方程為y=-■（x-a）.

∵當b≠0時，OC平分∠AOB，設∠AOC=θ，

∴直線OC的斜率為k=tanθ，OC的方程為y=kx于是

tanθ=■=■

又tan2θ=-b

∴-b=■ ①

∵C點在AB上

∴kx=■（x-a） ②

由①、②消去b，得（1+a）kx=■（x-a） ③

又k=■，代入③，有

（1+a）·■·x■（x-a）

整理，得（a-1）x2-（1+a）y2+2ax=0 ④

當b=0時，即B點在x軸上時，C（0，0）滿足上式：

a≠1時，④式變為■+■=1

當0

當a>1時，④表示雙曲線一支的弧段；

當a=1時，④表示拋物線弧段.是b-1≤a≤2。

三、化歸轉化的解題策略

化歸轉化解題策略，就是抓住問題內涵條件，通過建立等量關系，將復雜問題簡單化，將難解問題易解化，將未解決問題變為已解決的問題，一般包括等價轉化與非等價轉化兩種。在實際問題解答中常用的轉化方法有直接轉化法、換元法、參數法、構造法、坐標法、類比法等。

問題：求證△ABC的三條高交于一點。

本題是文字語言敘述的數學問題案例，在解答該問題時，需要先把文字語言轉化為數學語言：“已知：在△ABC中，CF，AD，BE是AB，BC，AC邊上的高。求證：AD，BE，CF相交于一點。”，然后，再將問題轉化為具體的平面向量問題，進而進行證明。在解答本題時，由于本題是關于向量的數量積的性質的應用，證明三線共點問題，一般先從兩線交點入手，證明第三條線過該點，垂直問題一般都利用數量積為0來解。（解題過程略）這一過程解題過程中，學生運用轉化思想，將文字語言轉化為數學語言，使得問題直觀化和數學化，有利于學生對問題的有效解答。

四、函數方程的解題策略

函數與方程解題策略是數學問題解答中最重要的一種方法，解題時要深刻理解一般函數y=f（x）、y=f–1（x）的性質（單調性、奇偶性、周期性、最值和圖象變換），熟練掌握基本初等函數的性質，這是應用函數思想解題的基礎，同時要密切注意一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式等問題，掌握二次函數基本性質，二次方程實根分布條件，二次不等式的轉化策略，實現對函數方程解題策略的有效運用。

問題：已知有一個函數f（x）=x2-（m+1）x+m（m∈R），試求（1）出對任意實數α，恒有f（2+cosα）≤0，證明m≥3；（2）在（1）的條件下，若函數f（sinα）的最大值是8，求m.的值。

證明：（1）∵f（x）=（x-1）（x-m）

又-1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f（2+cosα）≤0

即1≤x≤3時，恒有f（x）≤0即（x-1）（x-m）≤0

∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3

（2）解：∵f（sinα）=sin2α-（m+1）sinα+m=（sinα-■）■+m-■

且■≥2，∴當sinα=-1時，f（sinα）有最大值8.

即1+（m+1）+m=8，∴m=3。

上述是本人對解題策略的一些粗淺闡述，期望同仁能夠共同參與研究，為學生解題能力提升作出應有的貢獻。

（作者單位：江蘇省揚州市寶應縣中學）