例析解題中的虛假想象

學習數學，離不開想象.數學中的想象，能夠有助于尋覓解題思路，發現數學結論.愛因斯坦說過，想象比知識更重要。當然，想象有時也難免出現虛假，這又是我們在數學學習中需要避免的。下面擬通過對幾個典型的由想象產生虛假的例子的剖析，以資參考。

一、直覺虛假

直覺虛假，指的是在解題時，由直覺想象引起的虛假現象。直覺虛假表現的常見形式就是圖形虛假，如由于描圖的粗糙，使得對某些位置關系的判斷失真形成虛假

例1 （08年上海高考文科題）在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，1），（4，2），（2，6）.如果P（x，y）是ΔABC圍成的區域（含邊界）上的點，那么當u=xy取到最大值時，點P的坐標是 .

想象 由圖形直觀可知，當點P與點C（2，6）重合時，w=xy的最大值為12.

真實 從表面上看，上述解法似乎無懈可擊，但仔細想來，這種解法是靠想象得來的，屬于定性的，某種程度是不一定可靠的，有可能是虛假的.請看下面的定量分析：

由題意可得線段BC的方程為：y=-2x+10（2？燮x？燮4），代入u=xy可得

u=x（-2x+10）=-2x-■■+■.

當x=■時，u最大值為■.

故點P的真實坐標是■，5.此時，線段BC與雙曲線y=■相切.

評注 本例提醒我們，在解題中，由直覺產生的想象有可能是虛假的。這也印證了華羅庚先生一句經典的話：數缺形時少直觀，形少數時難入微。

二、概念虛假

概念虛假，指的是在解題時，由于對相關數學概念的理解不到位，憑想象而產生的虛假現象。

例2 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1， log■x，x？叟1是（-∞，+∞）上的減函數，那么a的取值范圍是（ ）.

A. （0，■） B. （■，1） C.[■，■） D.[■，1）

想象 根據題意，只要確保函數f（x）分別在（-∞，1），以及[-∞，1）是減函數即可，故由

3a-1>1，0

故選B.

真實 依據題設，要使分段函數f（x）是（-∞，+∞）上的減函數，除要確保函數f（x）分別在（-∞，1），以及[1，+∞）是減函數外，還應滿足在分點處x=1時，有

（3a-1）×1+4a？叟log■1？圯a？叟■.②

綜合①②可得■？燮a<1.

故正確答案應選C.

評注 在本題的想象中，錯誤地認為，如果函數f（x）分別在（-∞，m），[m，+∞）上單調遞減，則函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減.這顯然是一個憑想象得出的虛假概念。因為對于分段函數f（x）而言，其在（-∞，+∞）上單調性，還與其分點x=m處函數值有關。

三、條件虛假

條件虛假，指的是在解題時，由于忽視對某些數學結論成立時所滿足的條件的正確理解，形成想象中的虛假，并由此導致解題中的失誤。

例3 已知（x）=x2-16x+q+3，若函數f（x）在[-1，9]上存在零點，求實數q的取值范圍。

想象 ∵f（x）在[-1，9]上存在零點，由函數在某閉區間存在零點定理，

∴f（-1）·f（9）？燮0？圯（q+20）·（q-60）？燮0？圯-20？燮q？燮60.

真實 ∵f（x）=（x-8）2+q-61，x∈[-1，9].

∴fmin（x）=f（8）=q-61，fmax（x）=f（-1）=q+20.

由f（-1）·f（8）？燮0？圯（q+20）·（q-61）？燮0？圯-20？燮q？燮61.

剖析 眾所周知，若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點.但條件f（a）·f（b）<0是y=f（x）在區間（a，b）有零點的充分條件，并非必要條件。

限于篇幅，本文僅列舉上述幾類由想象不慎所導致虛假的例子，更多的例子可以在教學中歸納總結。

由上可知，膚淺的想象容易出現虛假，但這并不能否認數學中想象的重要作用，相反，從另一個側面給我們以啟示：在解題時，可以充分發揮數學想象重要的引領作用，在加上縝密的反思，一個個精彩的解法就可能躍然紙上，由此數學能力就會逐漸得以提高。

（作者單位：江西省贛縣中學北校區）