緊扣問題特性 提升學習效能

【摘 要】本文作者根據數學問題典型性、發散性以及綜合性等內在特性，對新課標下高中數學問題教學中，如何培養和提升學生的解題能力，進行了簡要論述。

【關鍵詞】高中數學；問題教學；解題能力；學習能力

高中生良好學習能力和數學素養可以借助于問題解答這一有效載體和平臺進行實時的呈現。問題作為學科內涵要義的深刻概括和集中體現，具有概括性和發展性等特點。數學問題作為數學學科知識點內涵的有效概括和升華，是教師教學目標和教學理念滲透與實施的重要載體，更是學生學習能力進行有效培養和鍛煉的重要“介質”。隨著高中數學新課程標準的深入實施，問題教學的功能定位更加傾向于“能力培養”，解題能力已成為學生學習能力素養展現的重要平臺。因此，解題能力培養已成新課改下高中數學學科教學的目標和重點之一。本人近年來，結合這一實際要求，對高中生解題能力在數學問題教學中的培養進行了探索研究，現將本人實施的策略和方法進行簡要論述。

一、緊扣例題典型性，為學生解題活動開展奠定知識素養

教學實踐證明，學生解題活動有效開展，解題效能的提升，需要良好的、豐富的以及深厚的數學知識素養作為支持。而高中數學學科教材中每一章節所設置的例題，作為該章、該節教學目標和學習要求以及知識點內涵的生動概括和集中體現，具有鮮明的“典型示范”效應。學生對例題的有效解答，能夠為深入開展問題解答活動起到“一通百通”的效用。因此，高中數學教師應將例題教學作為學生知識素養培養的重要抓手，做好例題教學活動，使學生在例題感知解答中積累豐富的知識素養。

如在教學“平面向量的坐標運算”教學活動中，部分教師側重于數學問題的教學，忽視新知例題的教學。，此時，筆者根據該節課教材內容目標和學習情感要求，在學生在理解掌握“平面向量的所標運算”概念、定義及性質等內容基礎上，引導學生對“已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），你能得出a+b，a-b，λa的坐標嗎？”例題進行研究解答。學生自主探究得出a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j），由向量線性運算的結合律和分配律，可得（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，同理得到a-b=（x1-x2，y1-y2）， λa=（λx1， λx2）.此時教師向學生提出：“通過以上計算，你能得出向量運算的加法法則、減法法則和實數與向量的積的運算法則嗎？”，學生在討論交流中得到“兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標”結論，從而為學生解答有關“平面向量的坐標運算”問題提供了知識儲備。

二、緊扣問題發散性，為學生解題能力提升提供思維支持

發散性是數學問題的根本特性之一，在培養和鍛煉學生思維靈活性、全面性等方面具有重要的作用。同時，學生解題能力水平的高低可以通過解答發散性問題案例進行有效的展現。因此，教師在問題教學中，可以設置具有一題多變、一題多問以及一題多解特性的開放性數學問題，讓學生在解答開放性問題中，解題思路更加豐富，解題方式更加多樣，思維活動更加靈活，有效提升學生思維創新能力。

問題：已知等差數列{an}滿足a3·a7=-12，a4+a6=-4，求數列{an}的通項公式.

上述問題案例教師在數列章節問題課教學中設置的一道問題案例，通過對上述問題內容以及條件的分析，可以發現，該問題是一道具有一題多解的開放性數學問題。此時，教師引導學生根據數列知識內容，進行分析探究等活動，學生得出了借助于方程思想或一元二次方程的根解題途徑進行解答，解題過程如下：

解法1：設公差為d，首項為a1，由題設可知，

（a1+2d）（a1+6d）=-12 ①

（a1+3d）+（a1+5d）=-4 ②

聯立解①②得：d=2a1=-10或d=-2a1=6

an=2n-12或an=-2n+8.

解法2：∵{an}是等差數列，

∴ a3+a7=a4+a6=-4

又∵ a3·a7=-12

∴ a3和a7是方程x2+4x-12=0的兩個根

解方程，得：x1=2，x2=-6

①當a3=2，a7=-6時，得a1=6，d=-2

∴ an=8-2n

②當a3=-6，a7=2時，得a1=-10，d=2

∴ an=2n-12.

三、緊扣問題綜合性，為學生解題效能提高樹立數學思想

數學學科知識點之間既相互獨立，又密切聯系，相互之間構成了一個有機整體。綜合性數學問題正是運用數學學科的這一特性，進行融合概括，展現了數學問題“無窮魅力”。綜合性數學問題已成為高考試卷試題命題的方向，也成為考查學生學習能力的重要載體。高中數學教師可以在章節復習或階段復習過程中，設置具有包容多個知識內涵的綜合特性問題，讓學生在分析、思考、探索、解答中，奠定和樹立良好數學思想，為學生解題能力有效提升提供“思想保證”。

問題：已知函數f（x）=（x2+ax+a） ·ex（a∈R）。（1）求f（x）的單調區間與極值；（2）設g（x）=f（x）-t（t∈R，a>2），若函數g（x）在[-3+∞]上有三個零點，求實數的取值范圍。

上述問題是教師在函數章節復習課中運用的一道綜合性數學問題。通過數學問題內容和條件的分析，可以發現，該問題解答時不僅涉及到三角函數的圖像性質，還運用解三角形以及向量的知識內容，同時，學生解題時還要運用數形結合以及函數與方程的數學思想，切實提升了學生數學思想素養。

總之，高中數學教師在問題教學中，要注重學生知識素養的積淀，思維能力的訓練和數學思想的培養，使學生在有效解題過程中，解題能力得到顯著提升，學習素養得到顯著增強。

（作者單位：江蘇省海門市冠今中學）