邊界掃描測試的數學模型探討

【摘要】邊界掃描測試所指的是把一定數量的數字邏輯測試向量，串行輸入至被測電路板中，并按照與之相對應的向量來對電路板中所有可能會發生的故障進行診斷，這一系列的測試所構成的就是邊界掃描測試向量集合。本文所研究的是建立在布爾矩陣理論上的邊界掃描測試模型，提出了這一測試數學模型的形式，研究了短路故障特征矩陣的建立過程，并進行了具體的模型的運算，最后提出了改數學模型的具體應用，具有一定的現實意義。

【關鍵詞】邊界掃描測試數學模型

1邊界掃描測試的數學模型的建立

（一）數學模型的形式

在這一測試模型中，所謂的邊界掃描測試就是把通過一定數量測試向量而組成的測試矩陣，輸入到電路板中，并通過相應矩陣來實行診斷，這里的測試矩陣用T表示，電路板用A表示，相應矩陣用R來表示。在測試矩陣中的每一個PT V向量的維數用N表示，可以知道，它所對應的是N個網絡的布爾輸入；但是，對于相應矩陣R中的每一個PR V來說，其響亮的維數也是用N來表示，這里的N所對應的是N個網絡的布爾輸出。所以，從本質上來講，我們可以把被測試的電路看成是N輸入/N輸出的系統，需要注意的是，這里輸入和輸出的都應該是布爾向量。具體來講，我么可以把測試矩陣模型的一般形式表示為：

因為，對于一個相類似的N輸入/N輸出靜態系統來講，在部隊噪聲進行考慮的情況之下，我們可以把上面的形式用方程表達出來，這一方程就是：

Y=D X

需要注意的是這一靜態系統中的輸入和輸出都應該是實數向量，在這一方程式中，X所標示的是輸入矩陣，Y所標示的是輸入矩陣，這里的D所表示的是系統特征的矩陣。

這一個方程式實際上是把輸入和輸出系統的故障問題轉變成為通過已經知道的Y和X的矩陣，來求D的辨別問題，從根本上來講，其實就是矩陣求逆的一個過程。那么，對于邊界掃描測試來講，我們必定也是希望能夠建立起與之相類似的模型，根據上述的分析，我們很明顯能夠知道所建立起來的邊界掃描過程模型應該是這樣的形式的模型：

R=C（A，T）

需要指出的是，其中的R所表示的是測試矩陣，T所表示的是相應矩陣，A矩陣所表示出來的特征應該就是這一電路板所存在故障的特征這樣的矩陣。

那么，要想使得這一式子成立，我們首先需要做的就是要把A這一矩陣構建出來，從而來使其和電路板的短路故障之間存在一對一相互映射的關系，之后，我們需要做的就是要把算子C構建出來，并且使其具備合理性，最終把A矩陣、T矩陣以及R矩陣之間形成相互的映射關系。

（二）建立短路故障特征矩陣

所謂的短路故障特征矩陣具體形式如下：

需要注意的是，這一矩陣的形式其實就是N×N階短路故障特征矩陣，從這一矩陣中可以看出，如果電路板上的第i個網絡和第j個網絡出現短路的話，故障征兆矩陣當中的元素aij和aji的值就應該是1，這時，矩陣中的其他原故障的無故障特征的元素的值就應該是0。另外，這一矩陣中的對角線上的元素的值也都是1，這個1所表示的是對于任何一個網絡來講，它和其本身都是短路的，那么，這時的短路故障中的故障特征就被稱作是布爾矩陣。反過來講，如果這一矩陣中沒有故障存在，這一故障特征矩陣就會退化成為單位布爾矩陣，這一矩陣用I來表示，換句話說也就是沒有故障特征的矩陣被稱作是單位矩陣。從這些分析中，很明顯，我們可以看出故障矩陣可以對各個網絡之間所存在的短路現象準確的反映出來，它和短路故障之間，也應該存在著一一對應的相互關系。

（三）數學模型的運算

在上述的矩陣建立起來之后，所需要做的就是要找出一個相對比較合理且有效的算子，來建立起R矩陣、A矩陣以及T矩陣之間的相互映射，通過矩陣乘法的方式可以把式子轉化成為：

從上面的式子中可以看出，向量[00…1…1…0]，其實是和上述的短路故障特征矩陣的形式是相同的，所以，我們就可以通過布爾矩陣乘法的形式，來構造出邊界掃描測試布爾矩陣模型，這一模型法如下：

R=A*T

需要指出的是，*這一符號所表示的是布爾矩陣乘法運算，這一式子所表示的意思是邊界掃描測試的相應矩陣R是短路故障特征的矩陣A同測試矩陣T的布爾積，在這一時候，邊界掃描測試診斷的過程其實也就是所對應的，通過已知R和T矩陣來對A矩陣的識別問題進行求解。

2邊界掃描測試的數學模型的應用

在具體的測試的過程當中，一旦把故障檢測出來之后，所需要做的就是對這一故障進行隔離，我們對R=A*T這一式子進行詳細的分析可以得到以下的式子：

RT=TT*A

那么，很明顯，如果說有一個的逆矩陣B存在，使下面的式子對于任何的一個R和A都是成立的，這樣，就能夠通過R矩陣和T矩陣中唯一一個已知的確定值A矩陣，就能夠吧所存在的短路故障診斷出來。這一式子是：

A=B*RT

我們可以通過布爾矩陣中的可逆性定理推理出，對于布爾方針X，如果有這樣的式子成立，那就是Y可以使得XY=YX=1成立，那么我們就可以說Y就是X的逆。

不管是單位布爾矩陣還是置換布爾矩陣，它們都是不包含有0或者1的行向量，所以，上面的條件是和固定狀態的故障以及開路狀態都是相符合的。

結語

總之，對于邊界掃描機制來講，它是一種既完整又標準的電路可測試性的設計方式，在具體的應用過程中，我們可以選擇STV基礎上的策略構成，或者是PTV基礎上的策略構成來把邊界掃描測試完成。但是，后者更具有應用意義，這是因為，后者在可以采取有限制短路故障模型的時候，這一策略是可以生成與之相對應的最優的測試向量集合，所以更值得推廣。

參考文獻

[1]程云波.基于邊界掃描技術的復雜數字電路板的可測試性分析.西安電子科技大學，2007年

[2]劉建芳.基于邊界掃描測試技術的測試圖形生成的研究.江蘇大學，2006年