關于頻域采樣定理的理論證明和驗證

1引言

采樣的理論基礎是采樣定理。它在連續時間信號與離散時間信號之間架起了一座橋梁，為連續時間信號與離散時間信號的相互轉換提供了依據。而采樣定理又分為時域采樣定理和頻域采樣定理。時域采樣定理大家都比較熟悉，筆者發現頻域采樣定理對于初學者較為陌生，因此在這里著重證明和驗證頻域采樣定理。

2頻域采樣定理的理論證明

我們以沖激取樣為例，設有一個信號f（t）為有限時間信號（簡稱時限信號），我們假設它在時間區間（-tm，tm）以外為零。f（t）的頻譜函數為F（jw），且為連續譜。

我們對連續譜F（jw）進行間隔為ws的沖激采樣，抽樣函數的數學形式為：

啄ws（w）=∑∞n=-∞δ（w-nws）

取樣后信號fs（t）的頻譜函數為：Fs（jw）= F（jw）∑∞n=-∞δ（w-nws）

=∑∞n=-∞F（jnws）δ(w-nws)

有限時間信號f（t）的頻譜函數在被間隔為ws的沖激序列采樣之后，則被采樣之后的頻譜函數Fs（jw）所對應的時域信號fs（t）以Ts為周期而重復。所以為了從fs（t）中無失真地恢復f（t），我們在時域上選擇一個理想的低通濾波器與fs（t）相乘，得到其在區間（-Ts/2，Ts/2）的一個周期。在這里我們設理想低通濾波器的頻率響應的幅度為ws，截止時間為tm（tm≤Ts/2），即

3頻域采樣定理

最后我們可以得到著名的頻域采樣定理：

一個在時間區間（-tm，tm）以外為零的有限時間信號f（t）的頻譜函數F（jw），可唯一地由其在均勻頻率間隔fs（fs<1/2 tm）上的樣點值F（jnw）確定。其數學表達式為:

F（jw）=∑∞n=-∞F（jnπ/tm）·Sa（w·tm-nπ）

其中tm=1/（2fs）。

4頻域采樣定理的matlab驗證

對頻譜函數X（ej棕）=FT[x（n）]在區間[0，2仔]上等間

隔32點采樣，得到X32（k）。再對X32（k）進行32點IFFT。分別畫出X（ej棕）、X32（k）的幅度譜，并繪圖顯示x（n）、X32（n）的波形。進行對比和分析，驗證總結頻域采樣理論。

頻域采樣定理驗證程序exp.m

M=27；N=32；n=0:M；

%產生M長三角波序列x（n）

xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa，xb];

Xk=fft(xn，1024);%1024點FFT[x(n)]，用于近似序列x(n)的TF

X32k=fft(xn，32) ;%32點FFT[x(n)]

x32n=ifft(X32k);%32點IFFT[X32(k)]得到x32(n)

subplot(2，2，2);stem(n，xn，’.’);box on

title(’(b)三角波序列x(n)’);xlabel(’n’);ylabel(’x(n)’);axis([0，32，0，20])

k=0:1023;wk=2*k/1024;%

subplot(2，2，1);plot(wk，abs(Xk));title(’(a)FT[x(n)]’);

xlabel (’\\omega/\\pi’);ylabel (’|X (e^j^\\omega)|’);axis ([0，1，0，200])

k=0:N-1;

subplot(2，2，3);stem(k，abs(X32k)，’.’);box on

title(’(e) 32點頻域采樣’);xlabel(’k’);ylabel(’|X_3_2(k)|’);axis([0，16，0，200])

5與時域采樣定理的對比

時域采樣定理和頻域采樣定理是通信系統和信號處理的重要理論。時域采樣后的信號在頻域上是周期拓展的，頻域采樣后的信號在時域上是周期拓展的。因此，我們可以說這兩個采樣定理具有對偶性。