隨機信號功率譜估計

1引言

功率譜估計（PSD）是利用給定的一組樣本數據估計一個平穩隨機信號的功率譜密度，它能給出被分析對象的能量隨頻率分布的情況。在雷達信號處理中可以根據回波信號的功率譜密度、譜峰的寬度、高度和位置可以確定運動目標的位置、輻射強度和運動速度。功率譜估計是數字信號處理的重要研究內容之一。功率譜估計可以分為經典譜估計（非參數估計）和現代譜估計（參數估計）。經典的功率譜估計有2種：一種是直接法；另一種是間接法。直接法就是先計算N個數據的傅里葉變換，然后取頻域和其共軛的乘積得到功率譜；間接法則是先計算N個樣本數據的估計自相關函數，然后再計算自相關數據的傅里葉變換得到功率譜。間接法的主要方法有最大熵譜分析法（AR模型法）、Pisarenko諧波分解法、Prony提取極點法、Prony譜線分解法以及Capon最大似然法。其中周期圖法和最大熵譜分析法是信號處理中最具代表性的方法。

2周期圖法

2.1周期圖譜估計

周期圖法是直接將信號的采樣數據x（n）進行Fourier變換求取功率譜密度估計的方法。它的特點是：先取信號序列的離散傅里葉變換，然后取其幅頻特性的平方并除以序列長度，由于序列的離散傅里葉變換具有周期性，因而這種功率譜也具有周期性。

假定有限長隨機信號序列為x（n）。它的Fourier變（2）

其中，FFT[x（n）]為對序列x（n）的Fourier變換，由于FFT[x（n）]的周期為N，求得的功率譜估計以N為周期，因此這種方法稱為周期圖法。

2.2周期圖法的性質差的分析，以此來說明周期圖法來作為功率譜估計的不可靠性。

在信號處理中通常用偏差和方差這兩種基本的統計量來度量估計子的性能，設a為一個帶估計量的變量，a贊是它的一個估計。估計的均方差（MSE）為

下面是對一隨機信號分別取長度為256和1024的功率譜估計：

從圖1中可以看出，采用周期圖法估計得到的功率譜很不平滑，也就是估計的協方差比較大，而且采用增加采樣點的方法也不能使周期圖變得更加平滑，這是周期圖法的缺點。

周期圖法的優點是能應用離散傅里葉變換的快速算法來進行估值。用有限長樣本序列的Fourier變換來表示隨機序列的功率譜，只是一種估計或近似，不可避免存在誤差。為了減少誤差，使功率譜估計更加平滑，可采用分段平均周期圖法（Bartlett法）、加窗平均周期圖法（Welch法）等方法加以改進。

3AR模型法

現代信號功率譜估計為了克服經典功率譜估計分辨率不高，不適合短序列的處理的缺點而提出來的。它不像經典功率譜估計那樣隱含著對數據加窗處理，而是認為一個廣義平穩的信號可以分解為一個確定信號和不確定的信號之和，這個不確定的信號可以看成是一個均值為零，方差為滓2白色噪聲激勵一個物理線性系統生成的，這是現代譜估計的理論模型，稱之為ARMA模型。它的傳遞函數可以表示為：（9）

（9）式稱為Yule-Walk方程。現代譜估計的各種算法都是為了求這個理論模型的參數。最大熵譜分析法是比較有代表性的方法之一，它把信息熵的概念引入到信號處理中，又是稱為時序譜分析法。它以數據的自相關序列rxx（0），rxx（1），rxx（p）為基礎，外推自相關序列rxx（p+1），rxx（p+2），…保證信息熵最大。就有可能克服經典譜估計的缺點。

下面是對圖1中的隨機信號用最大熵譜法的功率譜估計。

由圖2可見，最大熵譜法估計的功率譜曲線很平滑。這一方法選定的是全極點的模型（即AR模型），用該模型進行功率譜估計需通過levinson_durbin遞推算法由正則方程求得AR的參數a1，a2，…ap及滓2棕。在該方法中選用的全極點濾波器的階數取得越大，能夠獲得的窗口外的信息越多，但計算量也越大，需要根據情況折中考慮。

4總結

通過以上的分析和仿真可以看出以下特性:經典功率譜估計的譜分辨率差，方差比較大，分辨率反比于有效信號的長度。所以不能僅僅依靠增加采樣點才提高分辨率。現代譜估計的模型是假定隨機平穩過程是通過白噪聲激勵一線性時不變系統產生的隱含著數據和自相關函數的外推，不像經典譜估計那樣把給定的采樣點以外的數據看成零，因而現代譜的分辨率較高，而且估計出的譜線十分平滑，這些從圖1和圖2對比可以清楚地看出。