揭秘當年費爾馬(Fermat)大定理的證明思路與絕妙方法
——不定方程xn+yn=zn在n為大于2的任意整數時沒有不為零的整數解

鄒繼芳

(遼寧省撫順礦業集團有限責任公司機械制造廠 113001)

費爾馬大定理即不定方程xn+yn=zn在n為大于2的任意整數時沒有不為零的整數解.它來源是：在1621年費爾馬在巴黎買了一本丟番圖(公元三世紀時古希臘數學家)所作的《算術》的法文譯本.這本書的第二卷中提出了求不定方程X2+Y2=Z2的整數解問題，他把他思考的心得記在這本《算術》第二冊一頁書的空白處，他寫到“不可能把一個整數的立方表示成兩個整數的立方和；也不可能把一個整數的四次冪表示成兩個整數的四次冪之和;一般地說不可能把任意一個次數大于2的方冪表示成兩個同次方冪之和”.這也就是說不定方程xn+yn=zn，在n為大于2的任意整數時沒有不為零的整數解.

費爾馬逝世后，人們在他的圖書室找到了那本書，寫在書上的結論也公諸于世了.這個結論是一個未經證明的數學猜測，后人把這個數學史上著名的猜測稱為“費爾馬大定理”.費爾馬在那頁書上繼續寫道“我發現了這個論斷的奇妙證明，但這里空白太窄，寫不下了”.人們找遍了他遺留下來的手稿，始終沒有能夠找到他對這個問題的“奇妙證明”.人們只有自己來弄清這是一個正確的定理還是一個錯誤的猜想.三百多年來，它一直是數學史上的一件懸案.

一、教學與研究(解析費爾馬大定理)

費爾馬在仔細研究求不定方程X2+Y2=Z2的整數解后得出了費爾馬大定理：“不可能把一個整數的立方表示成兩個整數的四次冪之和，一般的說，不可能把任意一個次數大于2的方冪表示成兩個同次方冪之和.” 這也就是說不定方程xn+yn=zn在n大于2的任意整數時，沒有不為零的整數解.

如果對費爾馬大定理進行求證，我們就必須要仔細分析費爾馬大定理這個問題的性質、邏輯推理，尋求證明方法，最后，進行總結和歸納的過程.

1.仔細分析和研究費爾馬大定理的性質

我們知道：費爾馬大定理的不定方程為

xn+yn=zn(n>2).

當n=2時可寫成X2+Y2=Z2.

它不僅僅代表一個三元二次不定方程，它的幾何意義是代表一個直角三角形，X、Y、Z分別代表直角三角形的三條邊，三條邊之間的關系為X2+Y2=Z2，這就是著名的畢達哥拉斯定理，如果求三條邊的整數解，其三條邊的整數解通解為， 當X、Y、Z互質時,

上式也稱為勾股數組，這個結論很重要，在以后的證明過程中會經常用到.用幾何表示為

(畢達哥拉斯定理幾何關系)(勾股數組關系)記為(2ad、d2-a2、d2+a2)

我們可以把這個三角形稱為基本直角三角形.

當n=2t(t為大于1的自然數)費爾馬大定理不定方程為

符合上述基本三角形的形式.

此時用幾何表示為

當n=2t+1時(t為任意自然數)費爾馬大定理不定方程為

符合上述基本三角形的形式，此時用幾何表示為

2.結論

通過上述的分析和研究可知：費爾馬大定理的不定方程都是建立在基本直角三角形基礎上的，只是對應的直角三角形三條邊表現形式不同而已，其三條邊的整數解都必須滿足于勾股數組的通解條件，即有如下的關系式

以上推理過程中，概括起來說明.當n=2t+1時，通過邏輯推理，可轉換成當n=2t時的情形.當n=2t時，通過邏輯推理，可轉換成當n=4時的情形.從上式中的推論中可知，只要求出當n=4時沒有不為零的整數解就可以證明當n>2時沒有不為零的整數解.證明過程詳見x4+y4=z4沒有不為零的整數解的證明過程.

二、奇妙求證x4+y4=z4不定方程對任意正整數時沒有不為零的整數解

不定方程x4+y4=z4可以等價變換為

(x2)2+(y2)2=(z2)2.

此時該不定方程滿足于X2+Y2=Z2的形式,

此時：X=x2，Y=y2，Z=z2.

根據X2+Y2=Z2的通解，可知

從(2)中可知d2=y2+a2,

從(3)中可知z2=d2+a2.

可見(4)(5)兩方程皆符合X2+Y2=Z2的形式.

根據X2+Y2=Z2的通解公式,

此時根據(5)z2=d2+a2可表示為

另一方面討論勾股數組的規律.

根據前述X2+Y2=Z2的通解公式可知

從式中可以看出，當A、B確定后，勾股數組就可以確定，而且是唯一的.只有當A、B發生變化，勾股數組才相應發生變化.從中也說明一個勾股數組由三個整數所組成，當任意確定兩個整數時，另一個整數也是唯一的.

按題意，需要求出該方程組的整數解，通過仔細研究該方程組可知，其實是構成兩個直角三角形.式中a、d皆為正整數，那么y和z也應為正整數，那么就構成了兩個勾股數組方程，在兩個勾股數組方程中，都含有兩個相同勾股數a和d.根據勾股數組可知，當已確定兩個勾股數，另一個勾股數就應該是一定的，而且是唯一的，根據原方程x4+y4=z4，當x、y、z為非零整數解時，z>y，在此情形下，但在該方程組中，確出現了兩個不同的勾股數組，這就說明，至少有一項是不能滿足勾股數組的，也就是說，d2=y2+a2和z2=d2+a2兩個方程組至少有一項不能為整數解，也說明z和y至少有一個不能為整數解.故此式x4+y4=z4無整數解.從證明的過程可知，該解法確實是很奇妙的，這也是我經過多次的研究后才得出的正確解法.綜合以上的證明，原式x4+y4=z4的不定方程的任意整數時，沒有不為零的整數解，這就是說：“不可能把一個整數的四次冪表示成兩個整數的四次冪之和”.

幾何解析為直觀起見，我們也可以用幾何圖形來分析證明上述的結論.如圖所示.

式中：直角三角形△ABC可表示成(x2)2+(y2)2=(z2)2,此時d2=y2+a2,z2=d2+a2,所以又可畫出直角三角形△ADC和△ABE(x4+y4=z4幾何關系圖)

從直角三角形△ADC和△ABE中，分別構成兩個勾股數組(、、)和(、、)，在兩個勾股數組中都含有兩個相同的勾股數和，根據勾股數組可知，當已確定兩個勾股數，另一個勾股數就應該是一定的，而且是唯一的，若滿足勾股數組，只有,當時，根據通解公式，只有，顯然不符合原式沒有非零整數解的條件，根據原式的條件，，這此情形下，又不能滿足勾股數組的條件，所以在兩個勾股數組方程中，至少有一個方程不能滿足是勾股數組的條件的，從而得出上述的結論.

評論從證明的過程可知，無論是論證的過程還是用幾何圖形的分析，該解法確實是很奇妙的，很長一段時間以來，通過運算的方式都沒有證明結果，忽然有一天產生靈感而恍然大悟.現在想起來，x4+y4=z4不定方程沒有非零整數解的過程竟是如此之簡單，原來如此.

據有關資料的考證，當年費爾馬自稱是求證了x4+y4=z4不定方程沒有非零整數解的證明，但沒有留下論證過程.我想，當年費爾馬所說的絕妙方法可能就是指這種論證方法的(因為當年費爾馬是從研究畢達哥拉斯定理時而想到的，這種證法正是運用了該定理和勾股數組理論的)，之后，許多大數學家都求證過x4+y4=z4不定方程沒有非零整數解，但都是采用高深的復變函數理論和深奧的數論知識而求證的.我想，這肯定不是費爾馬當時宣稱的求證方法，據考證，目前還沒有出現相同的證明的方法，這種方法即簡潔明了，又奇妙無比.它的奇妙之處在于，一般的情形下，人們對某個問題的求解或論證，其邏輯思維都是采用運算的方式，只是很難想到用在兩個聯立的直角三角形方程中采用畢達哥拉斯定理和勾股數組(整數解)判定法，該方法即不用復雜的計算，也不用高等的復變函數、數論、群論等現代數學知識理論，而只要仔細的分析和判斷就可證明了(只要掌握畢達哥拉斯定理和勾股數組的關系就足夠了).

三、以新視角求證當n=2t(t為大于1的自然數)時，不定方程xn+yn=zn沒有不為零的整數解

當n=2t(t為大于1的自然數),

符合X2+Y2=Z2的形式,

因為當X2+Y2=Z2時,

X=2ad,

Y=d2-a2,

Z=d2+a2,

這時t又分兩種情形，一種情形為t=2p，另一種情形為t=2p+1.

當t=2p時

從上式中可以看出

該式也無整數解，也說明當n=2t,t=2p，即n=4p時

當p為任意正整數時都無正整數解.

完全符合已證明的x4+y4=z4的形式.

當t=2p+1時,

若該式有整數解，則x4p+2必為平方數，

根據前面的證明，該式無正整數解，也說明當n=2t,t=2p+1時,

四、以新視角求證當n=2t+1(t為自然數)時,不定方程xn+yn=zn沒有不為零的整數解

當n=2t+1時(t為自然數時),

此時符合X2+Y2=Z2的形式,

因為當X2+Y2=Z2時,

所以

因ad皆為正整數,

根據前式的證明，在該情形下，無正整數解.

幾何解析同理，在一般的情形下，即當n=2t時，或n=2t+1(t為任意自然數)時，即當n>2時,

構成一個聯立方程，所以，也可以用幾何圖形來分析證明上述的結論：如圖所示(當n>2時).

式中：直角三角形△ABC可表示成

所以可寫成d2=y2+a2,

(當n>2時的幾何關系圖)z2=d2+a2.

所以又可畫出直角三角形△ADC和△ABE，同x4+y4=z4的證明過程一樣(證明從略).

當n=2時，因只有關系式X2+Y2=Z2，所以幾何圖形為：

即上述證明的通解.

評論回顧上述的結論，就驗證了當年費爾馬所得出的結論.我認為事實上，當年費爾馬也是按上述的邏輯關系而推論的，也沒有求當n>2(除n=4)以外

的不定方程的解，也沒有這個必要.因為根據推論已經屬于普遍性的結論，是非常準確的.

三百多年來，人們都熱衷于求證該不定方程，不僅僅是因為它有著誘人的一面，還因為它題目的本身是屬于初等數學的范疇，多年未解出的原因是證明的思路不正確，把問題想的復雜化了(如x4+y4=z4沒有非零整數解的證明，從上述的證明過程來看，只運用了畢達哥拉斯定理和勾股數組的概念，非常簡單明了，沒有必要用復雜的復變函數和數論進行求證)，同時也忽略了冪與冪之間的聯立關系，如果不考慮冪與冪之間的聯立關系，而單純的求解n>2的任意正整數時的不定方程，那將是難上加難，而用初等數學和高等數學那將是無法求解的.這就好比一個問題一旦被蒙上神秘的面紗，就無法看清它的真面目一樣.如果一旦揭開它的面紗，又使人豁然開朗一樣，我想該不定方程就屬于這類性質，多年以來，我堅信當年費爾馬一定是用初等數學方面的知識而求證的，當然不會用群論(那時還沒有群論的概念)，等現代數學理論而求證.只是方法很巧妙而已.通過上述的求證過程來看，不論是n=4時的求證，或是n為大于2的任意正整數時的求證和推演過程確實很巧妙，很奇妙，也很嚴謹.

綜合以上的證明結果，這就證明了“費爾馬(Fenmat)大定理”.即：不可能把一個整數的立方表示成兩個整數的立方和，也不可能把一個整數的四次冪表示成兩個整數的四次冪之和，這也就是說不定方程xn+yn=zn在n大于2的任意整數時，沒有不為零的整數解.

通過以上的證明過程可以看出，從n=4時沒有非零整數解的證明，以至n為任意大于2的整數皆沒有非零整數解的論證，都是采用初等代數的方法而求解求證的，非常符合費爾馬當時的年代，據有關資料考證，當年費爾馬也是從研究X2+Y2=Z2的整數解開始思考的，繼而求證了x4+y4=z4無非零整數解，又推導出xn+yn=zn當n>2時沒有非零整數的過程.而且非常巧妙，所謂的巧妙其實就是一個好方法.

多年以來，很多的數學家都在研究該費爾馬大定理的求證，也取得了很大的進展，雖然如此，還沒有找到一個普遍性的證明，至到1993年，這個數學難題才由英國數學家威利斯(Andrew Wiles)所解決，其實威利斯是利用二十世紀過去三十年來抽象數學發展的結果才加以證明的，顯然不是當年費爾馬的證明思路，至此我們應該尋求當年費爾馬的證明.

近期，在網上查閱了大量的各式各樣的關于費爾馬大定理的證明方法和證明過程.從證明的過程來看，有初等的，也有用復變函數的，有用無窮遞降法的，也有用數論、群論的，但都不是費爾馬當年證明的方法.不論是正確或錯誤，從解題的過程來看，一是不符合費爾馬的時代背景，二是沒有看到奇妙之處.我想，證明費爾馬大定理的意義在于，一是要求證費爾馬大定理的正確性，二是要符合費爾馬的年代和費爾馬的思維邏輯，與費爾馬所論證的奇妙性相吻合.當年費爾馬正是在研究畢達哥拉斯定理的整數解問題時，才有了費爾馬大定理.事實上，從上述的證明過程看，從冪的四次方不定方程到冪的n次方不定方程都反復運用了畢達哥拉斯定理和勾股數組(整數解)的關系，真是對畢達哥拉斯定理的詮釋和運用典范.這正是費爾馬當年的絕妙的證明方法，可以對眾多紛繁復雜的費爾馬大定理的證明畫上一個圓滿的句號了，這也正是我多年尋求證明費爾馬大定理的初衷.

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