巧用對(duì)稱妙證題

如圖1，點(diǎn)M是Rt△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，P，Q分別是AC，AB上的點(diǎn)，求證△MPQ的周長(zhǎng)大于BC.

分別作出點(diǎn)M關(guān)于AC與AB的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)M′與點(diǎn)M″，連結(jié)MA，M′P，M′A，M″Q，M″A，由對(duì)稱性及∠BAC=90°易知M′，A，M″三點(diǎn)在一條直線上，且M′A=M″A=MA. 而MA=BC，所以M′M″=BC. 又由對(duì)稱性知M′P=MP，M″Q=MQ，但M′P+PQ+QM″>M′M″，所以MP+PQ+QM>BC，即△MPQ的周長(zhǎng)大于BC.

搖如圖2，點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且DM⊥ME. 求證：BD+CE>DE.

因點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，作出點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)M的中心對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)E′B，E′D，由對(duì)稱性知BE′=CE，E′M=ME. 又DM⊥ME，那么DM是E′E的中垂線，所以DE′=DE. 但在△BDE′中，BD+BE′>DE′，故BD+CE>DE.

搖如圖3，在等腰三角形ABC中，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABD內(nèi)，求證：∠AEB>∠AEC.

因點(diǎn)D是等腰三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)，那么AD是△ABC的對(duì)稱軸，這時(shí)可作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)AE′，CE′，并延長(zhǎng)EE′交AC于點(diǎn)F. 由對(duì)稱性可知△ACE′≌△ABE. 所以∠AE′C=∠AEB. 顯然∠AE′F>∠AEF，∠CE′F>∠CEF，將以上兩式相加，得∠AE′C>∠AEC，所以∠AEB>∠AEC.

搖如圖4，四邊形ABCD是梯形，BC∥AD，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，ME⊥AB于點(diǎn)E，求證：SE·AB.

因點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，以點(diǎn)M為對(duì)稱中心作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′C，由對(duì)稱性知AC′∥AD，而BC∥AD，所以B，C，A′在一條直線上，且△MCA′≌△MDA. 連結(jié)BM，那么BM是△ABA′的中線，于是SE·AB=ME