小小三角板 考出大乾坤

研究2011年中考試題時(shí)，發(fā)現(xiàn)命題專家喜歡將同學(xué)們的學(xué)習(xí)用具——三角板和直尺作為命題時(shí)的素材，將它們或組合拼圖、或進(jìn)行平移旋轉(zhuǎn)，得出一個(gè)個(gè)圖形，再要求同學(xué)們求解相關(guān)的量或判斷其形狀等．這些試題新穎別致，生動(dòng)豐富，清新有趣，貼近同學(xué)們的生活，給同學(xué)們一種親切感．

1. 三角板的平移、旋轉(zhuǎn)

（2011內(nèi)蒙古包頭）在直角三角形ABC中，AB=BC=5，∠ABC=90°，一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，圖1和圖2是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況.

（1）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△COF能否成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出△COF是等腰直角三角形時(shí)BF的長）；若不能，請(qǐng)說明理由．

（2）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖1或圖2加以證明.

（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)P處（如圖3），當(dāng)時(shí)，PE和PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

在問題（1）“三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△COF能否成為等腰直角三角形”中，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F在BC上移動(dòng)，如果同學(xué)們抓住∠C=45°，則知當(dāng)∠COF=45°或90°時(shí)△COF為等腰直角三角形. 在此基礎(chǔ)上就可以確定“①當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)F重合時(shí)”， 即BF=或0時(shí)，△COF為等腰直角三角形．

（2）問中雖然是“三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)” ，但“線段OE和OF之間的數(shù)量關(guān)系”卻是一個(gè)明顯的結(jié)論． 連結(jié)OB后易得△OEB≌△OFC，從而OE=OF．

（3）可過點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N. 因?yàn)椤螮PM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，所以∠EPM=∠FPN. 又因?yàn)椤螮MP=∠FNP=90°，根據(jù)相似三角形的

搖本例的（1）（2）是三角板繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，（3）是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)新的情境，在（1）（2）（3）中，結(jié)論都具有開放性，都需要同學(xué)們?cè)诶斫忸}意的基礎(chǔ)上探究解決．本例解決的關(guān)鍵在于作好輔助線，構(gòu)建全等三角形和相似三角形．

2. 在函數(shù)類試題中的應(yīng)用

（2011浙江麗水）如圖4，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A的雙曲線為y=． 在x軸上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′B′．