巧妙構造平行四邊形解題

平行四邊形是平面幾何的重要內容之一，靈活運用平行四邊形的概念與性質解題常能化繁為簡，這種方法的關鍵在于根據問題的特點構造出合適的平行四邊形，現舉例進行說明.

如圖1，點E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上的一點，且CE＝DC，連結AE，分別交BC，BD于點F，G. 連結AC交BD于點O，連結OF.?搖求證：AB＝2OF.

連結BE，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB＝CD，且AB∥CD，AO＝OC. 因為CE＝CD，所以AB＝CE，且AB∥CE. 所以四邊形ABEC為平行四邊形. 所以BF＝FC. 所以OF∥AB，且OF＝AB，即AB＝2OF（三角形的中位線定理）.

如圖2，在梯形ABCD中，AB∥DC，延長DC到點F，使CF=AB，連結AF，BF. 求證：AE＝EF，CE＝EB.

連結AC，因為AB∥DC，所以AB∥CF. 又因為AB=CF，所以四邊形ABFC是平行四邊形. 所以AE＝EF，CE＝EB.

如圖3，在平行四邊形ABCD中，點E，F在對角線AC上，且AE＝CF. 請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一線段相等（只須證明一組線段相等即可）.

（2）猜想：BF＝DE.

（3）證明：連結DB，DF，設BD與AC交于點O，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AO＝CO，DO＝OB. 因為AE＝FC，所以AO－AE＝CO－FC. 所以EO＝OF. 所以四邊形EBFD為平行四邊形. 所以BF＝DE.

連結BD，BG，BH，設BD交AC于點O. 因為AE=BE，AG=GH，所以EG∥BH. 同理，BG∥HF，所以BHDG為平行四邊形. 所以BO＝OD，OG＝OH. 又因為AG＝CH，所以AO＝OC. 故ABCD為平行四邊形. 所以AB∥DC.