怎樣做一名技術流NBA“賽事指導”

2012 年 NBA 全明星周末賽剛剛舉行不久，在巨星們秀各種技能的時候，是否他們思考過，關鍵時刻球該怎么打呢？現在，就讓我們依靠高端的數學模型，做一回技術指導吧！

數學計算決定犯不犯規

讓我們穿越回2010年NBA的一場比賽，火箭隊對陣公牛隊. 在比賽結束10秒前，火箭隊領先3分，此時球權在公牛隊手中. 火箭隊雖然離勝利只有一步之遙， 但公牛隊并沒有放棄，他們希望在最后一次進攻中扳平比分，把比賽拖入加時. 面對這最后一攻，火箭隊其實有兩個策略可供選擇：一是盡力防守，阻止公牛隊投三分；二是主動犯規，不讓公牛隊有投三分的機會. 如果當時你是火箭隊的技術指導員，你會建議主教練選擇哪個？

這其實是一道數學題，不妨讓我們來算一算.

根據NBA的數據，2010 年整個賽季三分球平均命中率是 35.5%，不過在離比賽結束還有10秒或更短、進攻方落后3分的特定情況下，面對嚴防死守和巨大壓力，命中率就要打折扣了，只有大約20%. 火箭隊如果主動犯規讓進攻方罰球兩次，會怎么樣？公牛隊若想扳平比分，在火箭隊犯規后可以選擇罰進第一球，罰失第二球，同時還要搶到進攻籃板，之后再把球投進，完成一次“1+2”.

一般情況下，罰進第一球的概率是75.6%，任務并不算難. 故意投失第二個罰球，應該屬于100%可以完成的任務. 但是第二個罰球不進，公牛隊搶下進攻籃板的概率就比較小了，根據NBA的統計數據，只有13.9%. 到此為止，如果三件事情都發生，概率是75.6%×100%×13.9%=10.5%. 另一方面，NBA兩分球得分率大約是50%，也就是說在搶到進攻籃板后，公牛隊最后能夠進入加時賽的可能性也就是10.5%的一半，5%左右.

按照以上的計算來看，兩種策略比較起來，選擇主動犯規，火箭隊有 95%的獲勝希望；否則，火箭隊只有80%的獲勝希望. 還是犯規策略更勝一籌！不過，現實情況是，主教練阿德爾曼采取了與上面計算得出的結論相反的策略，也就是不犯規，所有隊員都踩在三分線上防守. 結果公牛隊的當家球星德里克·羅斯用一道美麗弧線絕殺了火箭隊. 雙方只好打加時賽，火箭隊最終輸掉比賽.

當然，計算結果并不能代替主教練. 因為這個模型還很簡單和理想化，忽略了很多影響因素. 比如公牛隊不同球員之間的三分球、罰球命中率相差很大，一個平均值意義有限；另外模型也只考慮了一個進攻回合的情況，實際上雙方可能會反復互相犯規，導致局勢更復雜；不過，失誤情況我們也沒有考慮. 雖然如此，這個結果依然有一定的參考價值.

24秒何時出手才最好

除了教球員們怎么防守，當然還得教球員們怎么進攻. 在球場上24秒鐘中某一時刻，如果遇到一個投籃機會，球員是考慮直接投，還是傳給隊友繼續尋求更好的機會呢？

美國物理學教授布萊恩·斯金納曾做過研究，計算出了每輪進攻什么時候出手最好. 我們知道按照比賽規則，每個回合有24秒的進攻時間，選擇什么時機出手，可算得上是影響成功得分的關鍵因素.

不妨把每一次投籃機會的好壞都用一個“機會值”表示，假設這個值最差到最好是均勻分布、隨機出現的. 另外布萊恩在模型里還假定，在24秒中的某一時刻，如果球隊遇到一個得分機會，要看這次機會值是否高于一個臨界值，只有高于臨界值時才值得一試. 臨界值跟剩下的時間成正比，24秒剩下的時間越少，對投籃機會的要求就越低，例如24秒鐘聲即將臨近，進攻隊員別無選擇，即使此時被對方五人圍成一團，也只好一試. 此時的臨界值很低. 相反，如果24秒進攻時間剛剛開始，時機不好的話還可以等待更好的得分機會，此時的臨界值會比較高.

除此之外，臨界值也跟在剩下的時間能有多少次投籃機會，以及出現的失誤率有關. 根據NBA的統計數據，布萊恩教授的模型假定投籃機會是隨機產生的，平均2.8秒會發生一次；失誤也是隨機產生的，平均100秒會發生一次. 據此他為24秒中的每一個時刻計算出了相應的臨界值.

當然，真實比賽中，對于一次投籃機會，很難判斷什么樣的投籃“機會值”是2，什么樣的“機會值”是1，不過一定符合有好有壞的分布. 布萊恩雖然沒辦法說明具體就一個投籃機會而言是投還是不投，但我們可以根據這個模型和NBA的統計數據估算出平均情況下，在24秒的各個時刻，最佳的出手比例分配應該是多少. 比如計算結果認為在最佳方案中，有12%的投籃在9到10秒的時間段內發生. 球隊盡量按照圖里這條光滑曲線的比例分配24秒里各個時間段的出手比例，可以獲取最大的得分率.

從上圖可以看到，現實中NBA球隊的平均出手時間相比于最佳曲線普遍稍晚一些（由圓點連接構成的曲線），如果改按照計算出的最佳時間分配出手，計算表明，球隊每場比賽可以平均多得4.5分.

手會熱得發燙嗎？

不少常看NBA比賽的球迷會有這樣的感覺，某一球員可能在比賽的一段時間內突然爆發，接連命中十個八個，越投越來勁，怎么投怎么進. 孫指導、張指導常常會把這種情況解釋為“手熱得發燙”. 當然與之相反，球員也有“手冷”的時候. 一個球員接連投中幾次之后，手真的會“變熱”，再次投籃的命中率會上升嗎？理性的研究與直觀的“趕腳”卻是相反的.

首先，任何人都得承認，不管是姚明、科比，還是林書豪，比賽中都會出現那么幾分鐘超常發揮，也一定有幾分鐘失常發揮的局面，只是這種超常、失常的原因主要是因為巧合，還是真的因為命中之后讓他們的手變熱造成的？

拿扔硬幣來說，雖然理論上正反兩面的概率都是50%，但實際上連續扔很多次，也會遇到好幾次總是正面、好幾次總是反面的情況，可是硬幣不會“熱得發燙”，這只是統計上正常的波動.

早在二十多年前，美國康乃爾大學和斯坦福大學的三位研究者收集了當時費城76人隊的比賽數據，對“手變熱”一探究竟.

他們首先統計了費城76人隊很多場比賽中，九名主力隊員在連續投失三個球、兩個球、一個球以及連續投進三個球、兩個球、一個球六種情況下再次投籃分別的命中率，結果發現各名球員在六種情況下的命中率是基本相同的，甚至大多數球員在投失之后的命中率反而略高于投中之后的命中率. 在統計上，只有這六種情況下存在差異，而且差異達到一定程度，才能斷定“手熱”“手冷”存在，所以他們得出的結論只能是“無證據表明之前幾次投籃結果與下一次投籃結果有關”.

接著，他們又把每位球員比賽中所有的投籃結果列成一列數據10011010100100101……（1表示投中，0表示沒有投中），連續的一個或者幾個1看做一個“小段子”. 如果手熱現象存在，這些“小段子”的平均長度，也就是每次連投連中的平均個數會高于隨機情況下的預期值. 他們的結論是“沒有異常”，也就是說這段數據更像是隨機分布.

他們還用了一招，把上面的數據每相鄰4個數字分為一組，看一下四投零中、四投一中、四投二中、四投三中、四投四中的情況的比例分布是否與隨機情況的期望值有所不同，結果仍然是“完全正常”.

當然，有人會覺得一位球員連續投中之后，對方球員會加強對他的防守，他“手熱”可能真的存在，但是表現不出來. 研究者也研究了不存在對方球員干擾問題的罰球情形，發現第一個罰球投進以后，對于第二個罰球是否投進沒有關聯. 他們還找了大學生球隊的隊員在沒有防守的情況下，讓他們做不斷變換位置投籃的試驗，并且要求球員和旁觀者估計什么時候“手熱”，什么時候“手冷”，結果發現他們的數據仍然符合以上的結論，而且預測的正確率也就是半對半錯，再一次說明“手熱”并不存在.

根據他們的研究，前后投籃命中率之間的關聯性是“怎么統計，怎么沒有”，“怎么投怎么進”的情況更接近于扔硬幣的自然波動，“手變熱”“手變冷”情況從理性角度完全看不到蹤影.