巧用轉化 妙求周長

縱觀近幾年的各地中考試卷，幾乎無一例外地對“不規則圖形邊緣周長問題” 的知識進行了考查，該類試題大有“倍受青睞”的趨勢. 此類試題主要以翻折、重疊、平移等知識為載體，對同學們的思維能力進行考查. 在解答時，有些同學往往感到束手無策，其實只要善于轉化，巧妙構思，便可化難為易，化繁為簡，給人耳目一新的感覺，讓我們來共同感受一下吧！

（2010吉林）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，點E，F分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，則整個陰影部分圖形的周長為（ ）

A． 18 cm B． 36 cm

C． 40 cm D． 72 cm

由折疊的對稱性可知，A1D1＝AD，EA1＝EA，FD1＝FD，所以陰影部分的周長為FC+BC+FD1+A1D1+EA1+EB=FC+DF+BC+AB＋AD=2（BC+AB）=2×（12+6）=36（cm），故答案為B.

（2010江蘇宿遷）如圖2，正方形紙片ABCD的邊長為8，將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個三角形的周長之和為_________.

如圖3，C′B′與AB交于點G′，與AD交于點H′，FC′與AD交于點W′，則這三個點關于EF對稱的對應點分別為點G，H，W，由題意知BE=EB′，BG=B′G′，G′H′=GH，H′C′=HC，C′W′=CW，FW′=FW，所以①②③④四個三角形的周長之和等于正方形的周長=4×8=32． 故本題答案為32．

（2010河北）如圖4，兩個正六邊形的邊長均為1，其中一個正六邊形的一邊恰在另一個正六邊形的對角線上，則這個圖形（陰影部分）外輪廓線的周長是（ ）

A． 7 B． 8 C． 9 D． 10

正六邊形的一邊恰在另一個正六邊形的對角線上是解決此題的關鍵.根據正六邊形的性質可知正六邊形的每個內角都等于120°. 因為一個正六邊形的一邊恰在另一個正六邊形的對角線上，而內角的一半是60°，它的鄰補角也是60°，所以上面的小三角形是等邊三角形. 所以陰影部分上面外輪廓線的兩小段和為1，同理可知陰影部分下面外輪廓線的兩小段和為1，故這個圖形（陰影部分）外輪廓線的周長是8． 故答案為B．

（2011河北）如圖5，△ABD和△CBD都是等邊三角形，且邊長都為1，將△ABD沿AC方向平移到△A′B′D′的位置，得到圖6，則圖6中陰影部分的周長為_______?搖．

等邊三角形ABD和等邊三角形CBD的邊長均為1，將△ABD沿AC方向平移到△A′B′D′的位置時，根據平移的性質，陰影周圍出現六個等邊三角形. 再根據等邊三角形的性質有A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，BN=NR=BR，所以陰影部分的周長OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CB=1+1=2. 故答案為2．

（2011天津）如圖7，六邊形ABCDEF的六個內角都相等． 若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則這個六邊形的周長等于_________.

凸六邊形ABCDEF并不是一規則的六邊形，但六個角都是120°，所以通過適當地向外作延長線，可得到等邊三角形，進而求解． 如圖8，分別作直線BC，DE，AF的延長線和反向延長線使它們交于點M，H，G．因為六邊形ABCDEF的六個角都是120°，所以六邊形ABCDEF的每一個外角的度數都是60°．所以△ABG，△CMD，△HEF都是等邊三角形．易知AB=AG=BG=1，CD=CM=DM=3，又因為等邊三角形GMH的邊長GM=MH=7，所以等邊三角形HEF的邊長 HE=HF=EF=2． 所以六邊形的周長為3×7-1-2-3=15． 故答案為15．

百川歸海，殊途同歸. 解題無定法，貴在得法. 中考數學題的解法往往不止一種，但如果選取不當，就會使解題過程復雜化，甚至會誤入歧途導致錯誤. 若能正確把握轉化的數學思想，方可開啟解題思維的閘門，使做題簡便快捷，還可節省時間，何樂而不為？