全等轉(zhuǎn)相似 比值易相見(jiàn)

我們常常會(huì)發(fā)現(xiàn)一類(lèi)中考題：先給出特殊圖形（如正方形、等邊三角形）或特殊情形下線段的相等關(guān)系（讓讀者給出證明理由），然后弱化圖形（當(dāng)然圖形之間具有種屬關(guān)系，如變?yōu)榫匦巍⒘庑危┗驐l件，探究原來(lái)兩條線段的比值. 解決這類(lèi)問(wèn)題的思路就是沿著原來(lái)的特殊情況思考，看原來(lái)的全等三角形的全等關(guān)系是否還成立，若不成立，試一試能否證明它們相似.

小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，作AE交BC于點(diǎn)E，DF⊥AE交AB于點(diǎn)F，求證：AE=DF.

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，點(diǎn)G，H分別在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值.

（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．

（1）全等三角形是我們證明線段相等的一個(gè)重要方法，為此我們只要尋找到△ABE與△DAF全等的條件，問(wèn)題便可獲解. 由DF⊥AE知∠AEB=90°－∠BAE=∠AFD，又因?yàn)锳B=AD，∠ABE=∠DAF =90°，所以△ABE≌△DAF. 所以AE=DF．

（2）借助平移可以將問(wèn)題（2）轉(zhuǎn)化為問(wèn)題（1）解決. 為此可過(guò)點(diǎn)A作AM∥EF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN∥GH交AB于點(diǎn)N（如圖4），由平行四邊形的性質(zhì)容易得到AM=EF，DN=GH．由（1）知，△ADN≌△BAM，所以AM=DN. 所以EF=GH，即=1．

（3）如圖5，作AM∥EF交BC于點(diǎn)M，作DN∥GH交AB于點(diǎn)N，則AM=EF，DN=GH． 因?yàn)镋F⊥GH，所以AM⊥DN. 所以∠AMB=90°－∠BAM=∠AND. 又因?yàn)椤螦BM=∠DAN=90°，所以△ABM∽△DAN. 所以==． 所以=．

本題解決問(wèn)題的思維方法滲透了轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化的方法是利用線段的平移變換，平移的目的是溯本求源，構(gòu)造一對(duì)與全等對(duì)應(yīng)的相似三角形，從而求出線段的比值.

（2011山東臨沂）如圖6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求證：EF=EG.

（2）如圖7，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖8，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，其他條件不變，若AB=a，BC=b，求的值．

（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB. 又由正方形的性質(zhì)，可利用“ASA”證得Rt△FED≌Rt△EGB，問(wèn)題得證.

（2）可過(guò)點(diǎn)E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為H，I，然后利用“ASA”證得Rt△FEI≌Rt△GEH，問(wèn)題得證.

（3）可過(guò)點(diǎn)E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB. 又由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得△GME∽△FNE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

（1）因?yàn)椤螱EB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，所以∠DEF=∠GEB. 又因?yàn)镋D=BE，所以Rt△FED≌Rt△EGB. 所以EF=EG.

（2）成立，理由如下：如圖9，過(guò)點(diǎn)E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為H，I，則EH=EI，∠HEI=90°. 因?yàn)椤螱EH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，所以∠IEF=∠GEH. 所以Rt△FEI≌ Rt△GEH. 所以EF=EG.

（3）如圖10，過(guò)點(diǎn)E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N，則∠MEN=90°，所以EM∥AB，EN∥AD．所以△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB. 所以=，=. 所以= ，即==. 因?yàn)椤螻EF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，所以∠GEM=∠FEN. 因?yàn)椤螱ME=∠FNE=90°，所以△GME∽△FNE. 所以=. 所以=.

本題的思維方法，是以問(wèn)題（1）的思考方法及圖6的圖形結(jié)構(gòu)為基本框架，把問(wèn)題（2）和問(wèn)題（3）通過(guò)作輔助線構(gòu)造出全等三角形或相似三角形，然后“按圖索驥”，思維拾級(jí)而上觸及問(wèn)題的本質(zhì)，這同樣滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及數(shù)形結(jié)合思想. 此題綜合地考查了正方形和矩形的性質(zhì)，以及全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)．

如圖11，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C，D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE． 我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：

（1）①猜想圖11中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系.

②將圖11中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖12或圖13的情形． 請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖12證明你的判斷．

（2）將原題中的正方形改為矩形（如圖14~16），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k>0），第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖15為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

（1）①BG=DE，BG⊥DE. ②BG=DE，BG⊥DE仍然成立. 對(duì)于圖12來(lái)說(shuō)，證明如下：因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形CEFG都是正方形，所以BC=CD，CG=CE， ∠BCD=∠ECG=90°. 所以∠BCG=∠DCE. 所以△BCG≌△DCE（SAS）. 所以BG=DE，∠CBG=∠CDE. 又因?yàn)椤螧HC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，所以∠CDE+∠DHO=90°. 所以∠DOH=90°. 所以BG⊥DE.

（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立， 此時(shí)=. 簡(jiǎn)要說(shuō)明如下：因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka(a≠b，k>0)，所以 ==，∠BCD=∠ECG=90°. 所以∠BCG=∠DCE. 所以△BCG∽△DCE. 所以==. 所以∠CBG=∠CDE. 又因?yàn)椤螧HC=∠DHO， ∠CBG+∠BHC=90°，所以∠CDE+∠DHO=90°. 所以∠DOH=90°. 所以BG⊥DE. 從上述圖形對(duì)本質(zhì)屬性探索的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，每道題至少有兩個(gè)問(wèn)，第一問(wèn)是猜想或證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，并探究結(jié)論成立的理由，第二問(wèn)是將原圖形中某一部分進(jìn)行變換（平移、旋轉(zhuǎn)等），使圖形位置發(fā)生變化，產(chǎn)生新的問(wèn)題情景，再去繼續(xù)探究新情景中原結(jié)論是否成立. 或者類(lèi)比、聯(lián)想，即根據(jù)事物相同或相似的屬性用“種屬”相同幾何圖形去替換，進(jìn)行拓展、推廣，探究原來(lái)性質(zhì)的變與不變. 這類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是考查原來(lái)論證的思路和方法是否可行. 解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)利用圖形運(yùn)動(dòng)變化中某一時(shí)刻“靜止”的位置，挖掘出其中的“變與不變的因素——全等與相似”，沿著設(shè)置的“路標(biāo)”，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，按圖索驥，方能以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”，獲得問(wèn)題的答案.