巧解三條線段和的最值

問題是數學的心臟，數學正是因為不斷地有新問題的提出和不斷地被解決才充滿蓬勃的生命力．最值問題是中考的熱點，也是得分的難點，命題者的精心打造，使試題不斷更新、富有創意，其中三條線段和的最值問題對能力要求較高，也使同學們頗感困惑，本文以近年中考題為例，探究此類問題的解法，與大家分享．

（2011湖北咸寧）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=x+4分別交x軸、y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．

（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點N的坐標.

（2）動點P從點C出發，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時動點M從點A出發，沿線段AB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點P作PH⊥OA，垂足為H，連結MP，MH，設點P的運動時間為t秒．

①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值.

②點Q是點B關于點A的對稱點，問BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

（1）A（-3，0），B（0，4），N-，2.

（2）①1或.

②BP+PH+HQ有最小值. 連結PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形． 所以BP=CH. 所以BP+PH+HQ=CH+HQ+2． 當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小． 因為點C，Q的坐標分別為（0，2），（-6，-4），所以直線CQ的解析式為y=x+2. 所以點H的坐標為（-2，0）. 因此點P的坐標為（-2，2）．

BP+PH+HQ中PH=CO=2，故只需求BP+HQ的最小值. 注意到PH∥BC，且PH=BC，從而可將BP平移至CH，轉化為求CH+HQ的最小值，利用“兩點之間，線段最短”知當C，H，Q三點共線時，CH+HQ=CQ最小．

（2010福建寧德）如圖2，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連結EN，AM，CM.

（1）求證：△AMB≌△ENB.

（2）①當點M在何處時，AM＋CM的值最小？

②當點M在何處時，AM＋BM＋CM的值最小？說明理由.

（3）當AM＋BM＋CM的最小值為+1時，求正方形的邊長.

（1）略.

（2）①當點M落在BD的中點時，AM＋CM的值最小，理由略.

②連結CE，當點M位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：連結MN. 由①知△AMB≌△ENB，所以AM＝EN. 因為∠MBN＝60°，MB＝NB，所以△BMN是等邊三角形. 所以BM＝MN. 所以AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根據“兩點之間，線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短. 所以當點M位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長.

（3）正方形的邊長為.

本題（2）②要探究點M的位置，使三條線段和的值最小，關鍵是利用旋轉證出第（1）小題后得到AM=EN，再由等邊三角形得BM=MN，將求AM＋BM＋CM的最小值問題轉化為求EN+MN+CM的最小值. 最后利用“兩點之間，線段最短”知當E，N，M，C四點共線時，EN+MN+CM=EC最小．

（2011福建福州）已知，如圖3，二次函數y=ax2+2ax-3a（a≠0）的圖象的頂點為H，與x軸交于A，B兩點（點B在點A右側），點H，B關于直線l：y=x+對稱．

（1）求A，B兩點的坐標，并證明點A在直線l上.

（2）求二次函數的解析式.

（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于點K，M，N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連結HN，NM，MK，求HN+NM+MK的最小值．

（1）A（-3，0），B（1，0），證明略.

（2）y=-x2-x+.

（3）直線AH的解析式為y=x+3， 直線BK的解析式為y=x－，由y=x+，y=x-， 解得x=3，y=2， 即K（3，2），則BK=4. 如圖4，因為點H，B關于直線AK對稱，所以HN+MN的最小值是MB. 過點K作直線AH的對稱點Q，連結QK，交直線AH于點E，作KD⊥x軸于點D，則KD=KE=2. QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK. 所以BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值. 因為BK∥AH，所以∠BKQ=∠HEQ=90°. 由勾股定理得QB=8， 所以HN+NM+MK的最小值為8.

本題的難點是HN+NM+MK中有M，N兩個點在動，注意到點H，B關于直線AK對稱，得出HN+MN=BN+MN，過點K作直線AH的對稱點Q，連結QK，交直線AH于點E，得MK=MQ，于是HN+NM+MK=BN+MN+MQ. 利用“兩點之間，線段最短”知當Q，M，N，B四點共線時BN+MN+MQ最小，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，從而問題得解.

（2011四川眉山）如圖5，在直角坐標系中，已知點A（0，1），B（－4，4）． 將點B繞點A按順時針方向旋轉90°得到點C，頂點在坐標原點的拋物線經過點B．

（1）求拋物線的解析式和點C的坐標.

（2）拋物線上有一動點P，設點P到x軸的距離為d1，點P到點A的距離為d2，試說明d2=d1+1.

（3）在（2）的條件下，請探究當點P位于何處時，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC周長的最小值．

（1）y=x2，C（3，5）.

（2）略.

（3）過點P作PH⊥x軸于點H，由（1）可得AC=5，所以△PAC的周長=PA+PC+5，由（2）可得△PAC的周長=PH+PC+6. 因為當C，P，H三點共線時，PH+PC最小，所以當點P的坐標為3，時△PAC的周長最小，最小值為11．

△PAC的周長涉及三條線段的和，其中AC為定長，故只需求PA+PC的最小值. 但由于點P在拋物線上，不能套用“對稱點法”求解，注意到第（2）小題可用PH+1代換PA，可把問題轉化為求PH+PC的最小值. 利用“兩點之間，線段最短”知當C，P，H三點共線時，PH+PC=CH最小，從而問題得解．

此類題的最大特點是找“替身”以實現“等量轉化”. 可以利用幾何變換或等線段代換，將相關線段適當集中，再利用“兩點之間，線段最短”原理進行解決. 全等、等邊三角形的性質等知識都是解決此類問題的得力助手.