突破疑難我有招

《簡單的幾何圖形》作為初中幾何的第一部分，是進一步學習三角形、四邊形以及圓等復雜圖形的基礎. 因此，解決好本節的疑難問題，并且掌握一些常見的解題方法，也直接為后面的學習服務. 其主要類型有動手操作型、歸納探究型、學具拼接型、構造型、幾何計數型、閱讀理解型、面積綜合型、基本作圖型.

（2011河北）將圖1圍成圖2的正方體，則圖1中的紅心“”標志所在的正方形是圖2正方體中的（ ）

A． 面CDHE B． 面BCEF

C． 面ABFG D． 面ADHG

此題可以從兩個方面入手. 一是利用想象法來解，即關注圖1中帶有紅心的上面的那個等邊三角形，可以發現這個等邊三角形的一條邊在紅心所在的面上，而等邊三角形所在的面與紅心所在的面相鄰，故選A. 另外，也可以運用操作法來解，即自己先畫出左邊的圖形，再剪下折疊一下即可得到正確答案.

A.

（1）美術課上，老師要求同學們將圖3所示的白紙只沿虛線剪開，用裁開的紙片和白紙上的陰影部份圍成一個立體模型，然后放在桌面上，下面四個示意圖中，只有一個符合上述要求，那么這個示意圖是（ ）

（2）下面四個選項是某長方體的展開圖，其中錯誤的是（ ）

（2011江蘇連云港）某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：

（1）有一條邊對應相等的兩個三角形的面積之比等于這條邊上的對應高之比；

（2）有一個角對應相等的兩個三角形的面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；

……

現請你對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論（S表示面積）.

問題1：如圖4，現有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC. 經探究，S四邊形P1R1R2P2=S△ABC，請證明.

問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的△ABC拼合成四邊形ABCD，如圖5，Q1，Q2三等分邊DC. 請探究S四邊形P1Q1Q2P2與S四邊形ABCD之間的數量關系.

問題3：如圖6，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC. 若S四邊形ABCD=1，求S四邊形P2Q2Q3P3 .

問題4：如圖7，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1，S2，S3，S4 . 請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個等式.

對于問題1，由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面積比是對應邊的比的平方的性質可得. 在問題2中，由問題1的結果和所給結論（2）——有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比即可得到答案. 在解問題3時，由問題2的結果經過等量代換可求. 對于問題4，由問題2可知S1＋S4＝S2＋S3=S四邊形ABCD .

問題1：因為P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC，所以P1R1∥P2R2∥BC． 所以△AP1R1∽△AP2R2∽△ABC，且面積比為1 ∶ 4 ∶ 9． 所以S四邊形P1R1R2P2 ＝S△ABC＝S△ABC .

問題2：連結Q1R1，Q2R2，如圖8，由問題1的結論可知S四邊形P1P2R2R1＝S△ABC，S四邊形Q1Q2R2R1=S△ACD . 所以S四邊形P1P2R2R1+S四邊形Q1R1R2Q2＝S四邊形ABCD . 又因為P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC，Q1，Q2三等分邊DC，可得P1R1 ∶ P2R2＝Q2R2 ∶ Q1R1＝1 ∶ 2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1 ． 所以∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A． 所以∠P1R1Q1＝∠P2R2Q2 ． 由結論（2）可知S△P1R1Q1=S△P2R2Q2． 所以S四邊形P1Q1Q2P2＝S四邊形P1P2R2R1＋S四邊形Q1R1R2Q2＝S四邊形ABCD ．

問題3：設S四邊形P1Q1Q2P2=A，S四邊形P3Q3Q4P4=B，S四邊形P2Q2Q3P3=C，由問題2的結論可知A=S四邊形ADQ3P3，B=S四邊形P2Q2CB，所以A+B=（S四邊形ABCD＋C）= （1+C）．

又因為C＝（A+B+C），即C＝（1＋C）＋C． 整理得C=，即S四邊形P2Q2Q3P3=.

問題4：S1＋S4＝S2＋S3 ．

平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系.

（1）AB平行于CD．如圖9，點P在AB，CD外部時，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，所以∠BPD=∠B-∠D． 如圖10，將點P移到AB，CD內部，以上結論是否成立？若不成立，則∠BPD，∠B，∠D之間有何數量關系？請證明你的結論.

（2）在圖10中，將直線AB繞點B按逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖11，則∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）.

（3）根據（2）的結論求圖12中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．