全等三角形的考點精析

全等三角形是初中的重要內容，也是中考必考的內容之一，題型有選擇題、填空題、解答題，難度中等. 為了幫助同學們更好地學習全等三角形的有關知識，本文擬從下面幾個方面加以分析，供大家參考.

在實際生活中，存在著許多圖形，若將它們疊在一起，能夠完全重合，也即它們的形狀和大小都相同，我們稱這種能夠重合的圖形為全等圖形.

溫馨提示：理解全等圖形需要明確兩點：①若兩個圖形是全等圖形，則它們的形狀和大小都相同；②若兩個圖形的形狀和大小都相同，則可將它們重疊在一起，因而也就是兩個全等圖形.

已知一個等邊三角形，你能把這個三角形分割成三個全等的三角形嗎？你能把它分割成四個全等的三角形嗎？

要使分割后的三部分全等，可沿各角的平分線折疊，分割而得的即為符合條件的三角形. 要使分割后的四部分全等，可沿著各邊中點的連線折疊，分割而得的即為符合條件的三角形.

分割成的三部分如圖1所示，分割成的四部分如圖2所示.

下列各組圖形，一定不是全等圖形的是（ ）

能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形. 重合的邊、角分別叫做對應邊、對應角. 如△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，讀作△ABC全等于△DEF. 符號“≌”可看做是由“∽”與“=”兩部分組成，“∽”表示形狀相同，“=”表示大小一樣. 既然全等三角形能夠完全重合，那么全等三角形的對應邊相等；對應角相等. 這兩條性質是證明兩條線段相等、兩個角相等的常用依據，千萬要記牢！

溫馨提示：兩個三角形全等與否，與它們的位置無關！記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上. 養成這一習慣，對今后證明線段相等、角相等尤為重要.

如圖3，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，A1B1=10 cm，求∠C1的度數及AB的長.

由△ABC≌△ABC→可確定兩個三角形的對應角→結合三角形內角和是180°，從而求出∠C1.

因為△ABC≌△A1B1C1，所以點A與點A1對應，點B與點B1對應，點C與點C1對應. 所以AB=A1B1=10 cm. 因為∠A=110°，∠B=40°，所以∠C1=∠C=180°-110°-40°=30°.

如圖4，已知△ABC≌△DEF，∠F=∠C，AD=22 cm，BE=2 cm，求線段AB的長并寫出∠D的對應角.

全等三角形的判定方法如表一.

判定三角形全等的一般思路如表二.

溫馨提示：判定兩個三角形全等必須有三對（直角三角形是兩對）對應元素相等，并且其中至少有一對是對應邊.

如圖5，已知∠AOE=∠AOD，∠B=∠C.

求證：（1）△AOB≌△AOC.

（2）△BOE≌△COD.

（1）根據∠AOE=∠AOD，可以得出∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD，即∠AOB=∠AOC. 又因為∠B=∠C，AO=AO，利用“AAS”就可以得出△AOB≌△AOC.

（2）由△AOB≌△AOC可得到OB=OC，根據對頂角相等可得∠BOE=∠COD，又由已知條件∠B=∠C，并根據“ASA”就可以得到△BOE≌△COD.

（1）因為∠AOE=∠AOD，∠BOE=∠COD，所以∠AOB=∠AOC. 又∠B=∠C，AO=AO，所以△AOB≌△AOC（AAS）.

（2）由△AOB≌△AOC得OB=OC，又∠B=∠C，∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD（ASA）.

如圖6，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，點F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF.

（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF.

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度數.

（1）由題意知，△ABE和△CBF都是直角三角形，而AE=CF，AB=BC，根據直角三角形的全等方法即可判定兩三角形全等.

（2）利用（1）的結論得出∠BCF=∠BAE=15°，從而求出∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

（1）因為∠ABC=90°，所以∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中，因為AE=CF，AB=BC，所以Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.

（2）因為AB=BC，∠ABC=90°，所以∠CAB=∠ACB=45°. 因為∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知?搖Rt△ABE≌Rt△CBF，所以∠BCF=∠BAE=15°. 所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.

如圖7，在△ABC中，AD是中線，分別過點B，C作AD及其延長線的垂線BE，CF，垂足分別為點E，F． 求證：BE=CF．

角平分線上的點到角的兩邊距離相等；角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

溫馨提示：應用角平分線的性質及其判定時，一定要具備兩個垂直距離（即點到直線的距離），證明過程中要直接運用這兩個結論，而不要去尋找全等三角形（這樣做實際上是重新證明了一次結論）；證明點在角平分線上的常用方法是證明這個點到角的兩邊距離相等，這樣就把證明“點在線上”的問題轉化為了證明“線段相等”的問題，體現了“化難為易，化陌生為熟悉”的轉化（化歸）思想.

如圖8，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，BE與CD相交于點O，且AO平分∠BAC. 求證：OB=OC.

由角平分線的性質可得OD=OE，要證OB=OC，只需要證明△BOD≌△COE.

因為AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，所以∠BDO=∠CEO=90°，OD=OE. 又∠BOD=∠COE，所以△BOD≌△COE（ASA）. 所以OB=OC.

如圖9，∠B=∠C=90°，點M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB.